エレキギターを始めるにはアンプが必要？エフェクターは必須？

アンプは無くても弦の生音は出ます。でも本当にエレキらしい音は、アンプを通さないと出ません。
また、耳にするエレキギターの音は、歪み系のエフェクターを使っています。ただし、大抵のアンプで歪ませることができるので、これで代用可能です。
エレキギターの場合、弦のミュートも大事ですので、アンプを通した音で確実にミュート出来ているか確認する必要もあります。

人前で演奏をすることを考えると、アンプは必須ですが、自宅でアンプで音を出すのは難しいと思います。練習や録音だけであれば、アンプシミュレータ内蔵のマルチエフェクタでも代用できます。
私は、Zoomの505-2とヘッドフォンで練習をしています。
これだと、そこそこの音が出て、ACアダプター付きで6000円以内で入手可能です。しかも基本的なエフェクターも全て入っています。

他の方の回答どおり、エレキギターをアンプレスで使用しても生音（イメージ的にはシャリシャリといった感じの音）が出ますので、主に左手主体のトレーニング（単純にコードの配置を覚える等々…）程度には使えるかもしれません。
しかし実際にはある程度の音量がないとピッキングはきつく、コードを押さえ方はあいまいになりやすく、アンプは必需品と言えます。

自宅練習がメインであればまずは練習用と割り切ったアンプを購入するのが良いと思います。
選び方としては、きっちりと防音設備が成されていない限りは、ヘッドホン端子を備えている物で比較的小型の物がお薦めです。
エフェクターについてはひとまずは必要ないです。実際にアンプを通し、まずはＥＱをいじってみたり、プリセットされている音源を変える等して遊んでみて、もの足りなさを感じ始めたら考慮してみましょう。

ちなみに自宅練習用として私がよく人に薦めているのはローランドのＭＩＣＲＯＣＵＢＥというアンプです。音量はありませんが室内練習や河川敷で練習といった程度なら充分でいくつかのプリセット音源と、エフェクター機能もついていますので、練習の合間に音をいじって好きなミュージシャンのフレーズを真似てみたりするのも良いでしょう。参考までに…

Roland MicroCUBE
http://www.roland.co.jp/products/mi/MicroCUBE.html

どちらも、欲しくなったときに欲しいものを買うのが一番です。なるべく、とりあえず先に買っちゃう、てのは避けるべきだと思います。ただ、電気信号通した音を聞かないとさすがに意味がないので、とりあえず最低限の練習用アンプを買うか、ヘッドフォンアンプやミキサーなど、ヘッドフォンで音を聞ける環境を整えるかした方がいいかもしれません。

エフェクターについては、最低限と思われるものから飛び道具に至るまで様々ですので、しばらくして耳が肥えてきたら導入してはいかがでしょう。かつてジャズ界でチューブスクリーマー使ってないソロはソロではない、と言われたとか言われないとか（記憶が曖昧です、すいません）、定番・名機といわれるものから使ってみるのが妥当かもしれませんね。

　ギターアンプが無くても、まあ一人練習くらいは出来なくもないですが、アンプレスで練習していると、どうしてもタッチ（弦を弾く）が強くなりすぎる傾向があって、癖になっちゃうとなかなか抜けないんですよね。もし予算が許すなら一台用意するといいのですが…
　エフェクターについては、種類がほんとに色々あって、どんなスタイルでどんなサウンドを目指していくかが決まってから選ぶことになりますね。
　高中正義さんは確か『アンプに凝るくらいならエフェクターに凝れ』と言ってたような気がするし、マーシャルに直にぶっこんで弾くのが一番ていう人もいます。
　自分自身のことを言えば、昔はコンプ、イコライザー、ディストーション、ディレイ、リバーブというように使ってましたが、今はアンプで歪ませてギターのボリュームで調節するという、古いやり方が気に入っています。

アンプは、エレキギターらしい音を出すためには必要なものです。 アンプに繋がない状態のエレキギターの生音では、大抵はあまり大きな音にはなりません。
エレキギターはアンプとセットで、楽器として使えるものになります。 エレキギター単体だけでは、実用的な楽器にはなりません。 予算が限られているというケースでなければ、できればアンプも一緒に揃えた方が良いでしょう。

エフェクターについては、絶対に要る物とはいえません。 音を加工したい時には、その目的に適うエフェクターを使う必要があるでしょうが、そういう音の加工を必要としない限りは不要でしょう。 欲しいと思えるエフェクターがなければ、買う必要はありません。

参考まで。