戸籍上の苗字.健康保険証.出生届について

補足します。

下側の回答に「外国人登録原票」とありますが、現在、入管法が改正されており、以前のように「外国人登録制度」がありません。

外国人住民は、住民票が作成され、それは日本人と国際結婚した場合いは日本人配偶者と同じ世帯にはいります。　なお、これは改正時点で自動的に作成されるので、なにも手続きは必要になく、すでに住民票があるはずです。　改正時点で、ご主人のもとにも、そういう案内が地方自治体から届いているはずです。

この制度改正から、現在は外国人も住基カードも取れるようになっていて、この住基カードには、通称名も記載されます。　現在の制度では、外国人住民が、通称名をなのることが、公的に認めれていた、外国人登録証が廃止されているので、その後、それに類似したものとされる「在留カード」や「特別永住者証明書」には通称名は記載されないようになっています。

外国人と結婚しています。

国際結婚の場合は基本的に夫婦別姓です。

子供ができた場合は、出生届けは日本人の親の戸籍にはいるので、日本人の親の姓となります。

日本の健康保険等は、本人が希望すれば、外国人の場合は通称名が認められます。

なお日本の法律では、日本人には通称名はありません。
ただ、ご質問のケースのように、配偶者が外国人の場合は、日本人の姓も、外国人の姓にしてくれるなどの便宜ははかってくれるとは地方自治体によりあるのかもしれないと思いますが、それは本筋から外れたことです。法律の上では、日本人には通称はありません。　また、外国人の通称名はあくまで、日本で生活するのに便利なように便宜上設けられているにすぎません。本名につながる付属品のような扱いでしかありません。

本名はあくまでも、外国人配偶者の国に登録されている姓名です。

わたしは、質問者様自身が、在日韓国人にたいして偏見があるように思いお読みしました。　もう結婚して子供もできるのに、ご主人の国にたいしてそのような偏見をもってどうされるのですか。　外国人と結婚することは、夫婦互いに相手の国を理解することが必要です。

なお、ご主人が日本に帰化すれば、こういう問題はなくなります。　帰化申請のときに、日本人となった場合の氏名を決めるひつようがありますが、それは、現在の通称名でも当然認められますし、帰化がとおれば、日本国籍者として、ご主人には日本の戸籍が作られ、あなたも、また、お子さんもその戸籍にはいることは当然可能です。　日本人となった場合は、一般の日本人となんら変わりありません。　パスポートをとる場合も日本のパスポートになります。

ただし、帰化は法務大臣に認めれ、官報に記載されてはじめてなるもので、神聖なものです。それだけに手続きがたいへん難しいし、本人が望んでも日本国が認めないなら却下されます。　なお帰化するときには、当然韓国の国籍を離脱する必要があります。

＞主人は韓国の通称名を名乗っておらず、日本の通称名を名乗っています。

日本の通称名はあっても、韓国の通称名なんてありませんよ。韓国の本名でしょ。

＞国際結婚の場合、婚姻届を出すと夫婦別姓になってしまうことは知っていました。

韓国人同士の結婚の場合だって、夫婦別姓ですけどね。

＞その時、妊娠していて子どものためにも夫婦共に同じ苗字に統一した方が良いと思い、婚姻届を出した際に《氏の変更届》もしました。

「外国人との婚姻による氏の変更届」ですね。

＞氏の変更ができることは事前に確認していましたが、主人の苗字である日本での通称名ではなく、韓国での通称名の苗字を名乗ることになってしまい、結局夫婦別姓の状態になってしまいました。

通称名ってのは本名じゃない、便宜上の名前。あなたの氏は韓国人夫の本名の苗字にカタカナを当てたもの、又は漢字姓になったの。漢字姓なら夫婦同姓と言っても間違いじゃないけど、韓国人同士の夫婦の妻は決して夫の姓にならないってのに、おもしろいことするよね。

＞主人の日本の通称名を名乗る場合は家庭裁判所へ行かないと手続きができないと言われ、

「氏の変更許可」をもらう必要があります。

＞私は婚姻届を出す前に、氏の変更をすることにより、

婚姻届を出す前なら赤の他人なんだから、氏変更できるわけないじゃんｗ

＞医者に記入してもらう出生証明書には、戸籍上とは違う苗字を書かれてしまうと言うことです。
＞それを役所に出しても、通用しないのでしょうか？

出生証明書の子の氏がどうだろうが関係ありません。
戸籍法上、子は日本人母の氏にしかならないからです。
他の氏を記入してもそうはならない、って話です。
出生証明書と出生届の氏が違ったら、同一人物だという証明（保険証）を別に出せば、ちゃんと通用するはずです。万一通用しなかったら、医師の方に訂正を求めてください。

何か混乱しておられるようですが、
まず落ち着いてくださいね。

通名の届け出は、家庭裁判所ではなく市町村役所の窓口です。
市区町村が管理する「外国人登録原票」に記録されます。

ご本人が、在留カード、パスポート、健康保険証、社員証等
身分を証明するもの等を持参していけばよいだけです。
まず事前確認のために、市役所の窓口に電話で問い合わせしましょう。

これで、お子さんの出生届けについては
書類の突合せができますので、窓口で相談しましょう。

補足ですが
配偶者（夫）が国籍を日本国に変えていない場合は、日本国民ではないので
当然ですが夫に戸籍はありません。
婚姻に関する事項として貴女が筆頭者の戸籍に婚姻届提出年月日、
配偶者の名前、国籍等が記載されているはずです。
当然ですが貴女の戸籍にお子さんは入ります。

書いてもらったの、それなら、理由を言って直して貰えばいいだけのことでは、、、。

まあ、書類代は取られるかもしれないけど、

戸籍と同じ名前に、直す、普通のことですよね。