なぜ乳母車と言うんでしょうか？

乳母を雇える人が使っていたからでしょう。元々は１３世紀頃のヨーロッパ王侯貴族が使用を開始したようですが・・・。それを日本に持ち込んで使い始めたのはやはり上流階級の方々だったからではないでしょうか？
乳母や執事が居る家というのも戦前には「華族」や「豪農」として多く存在していましたからねぇ。（戦後のＧＨＱにより没落しましたけど）

農業や林業など主として一次産業に携わる母は背負子やカゴに子供を入れて作業に出かけました。
専業主婦ならおんぶ紐（今は前抱っこが主流ですが）やお包み。

いずれにしても昭和は遠くなりにけり。ではありますが・・・。
昭和世代が居なくなれば「古典」で習う「古語」になると思います。
一般的にはベビーカーですが、これも和製英語で海外や外国人には通用しませんから何れは淘汰されるでしょう。（今後ますます外国人居住者は増えると思いますし）

母親が子供に乳を与えているならその人を「乳母」と言っても差し支えないと思います。
ベビーシッターの事を指すと限定しなくても良いのでは？と考えています。
という前提で考えれば、乳母車はそのまま、乳幼児とその母が使う手押し車で合っていると思います。

私も同様の疑問を持ったことはありますが、自己解決しました。

真偽の確認はしていませんが、その考えの例です。

まず、名前が現実と合わない事に違和感があったので、現実と名前が合う状況を考えてみました。

乳母が乳母車を押して、母親は押さない状況とは？

母親が貴族等の身分の高い者なら自分では押さないかもしれないと考えました。

乳母車がどこの国で発祥か知りませんが、最初は貴族の間だけで使われていたもので、それが一般にも使われるようになったが、呼称が変わらなければこのようになると思いました。

疑問を持つのも良いことだと思いますが、そこから仮定して考えを広げた上で、選択肢を絞ると言うのは何かと役に立ちますよ。