身分証なしで携帯なしの旅は可能？

スマホや携帯電話は、無くても何とかなるかもしれませんが、何らかの身分証明書は持っていたほうが良いと思います。

自転車ということなので、思わぬ事故に合う可能性もありますので。

どれくらいの旅ですかね。
数日なら現金さえあれば大丈夫でしょう。

長期間なら郵便局のキャッシュカードを持っていればなんかなるでしょう。
民宿とか探しながら泊まるんだったらスマホがあったほうが良いでしょうね。

野宿とかしていると警官から職務質問されて身分証明書を見せろと言われるかもしれませんね。

可能です。

ただし、それに関して、通常時と違うリスクはご自分で理解された上、その責任を持って、行われれば良いだけです。

怪我をした場合、病気になった場合。
病院に行けば、治療費は健康保険で支払う場合の６倍以上の金額が取られることになります。
連絡が取れない。他の人からの緊急の連絡が受けられない。

まあ、あっては行けない様なことですが、親族での急病、家に大きなトラブルが起こった、なども連絡がつかないとなるだけの話です。

それらをすべてあなたの責任の上で処理できる。というのであれば、何も問題はありません。

どちらもなくても旅行自体は可能です。
身分証が必要なケースについては「旅行中に職務質問にあった時」ぐらいでしょう。
携帯電話に関しては「質問者様に定期的な連絡を取りたい（取る必要がある）相手」がいなければ持って行く必要はないでしょう。
但し、「自分がどこに居るかを確認する」ためのGPSやマップ機能も使えなくなりますから、紙ベースでの地図は必須ですが。

以上、ご参考まで。

地図と方位磁石があればできます。
最近では国道、県道の道路標識が至る所にありますから、そんなに難しいことではないでしょう。
雨対策と野宿の準備はしっかりとしておくこと。