猫と住める賃貸住宅ありますか？

ネットで検索した仲介不動産屋に直接問い合わせすると良いですよ。
わざわざ「ペット可」などと記載していないだけで、殆どの場合はOKになるはずです。

『空き家バンク物件情報』（種子島(西之表市)移住情報）
http://iju-tanegashima.jp/publics/index/68/?EstateKey295_1=Nc1BDoMgEAXQ08ysRYOhCxY21WsQ1LEh1UKmmIbbF1qaTCbv_82fjVt1K3uMKVCxaATe2Z-hBAzsFjIb--Pv6DVaJlvLL0s3n25fTSLLGjcmMj5E558gr6IHedMwdqA6uAwV-SoUjBLUBMOED0pvz3k3P2L9W7SvBXd3uKjb5gM#ResultEstateKey295_1


一応、あるみたいですけどね。
契約済みが多いですが、未契約のものを見てみると４～５万くらいで考えていれば探しやすいのかなと。

ただ、収入源は確保されているのでしょうか？
現地で仕事を探すのは厳しく、あっても月10万円以下になることが多いので、一人者の移住者はたいてい挫折するという情報もあります。


『種子島移住情報』（憧れの島暮らし ～ 種子島移住への道のり ～）
https://ameblo.jp/tanegashima-life/entry-10862613364.html?frm=theme


すでに不労所得があるとか、テレワークをしていて住む場所は影響しないなどの収入源を確保した上でないと生活は厳しいのかなと。

質問の回答ではありませんが、犬は人につき、猫は家につくと言われて
います。飼われている猫が室内だけで飼われているなら問題ありませんが
戸外にも出られる状況で飼われている場合、引っ越し先から逃げ出す（
元の家に戻る）行動をとる猫が多いのでご注意下さい。
引っ越し先では慣れるまで外に出さないようにする必要があります。