綺麗なボーカルレコーディング方法が知りたい

ミキサーのクラスにもよりますが、1チャンネル10万程度のマイクプリに変えたら、クオリティは一気にあがると思いますよ。

エフェクターの順列は、ひとそれぞれだと思いますが、私はピッチ・EQ・コンプ・空間の順にしています。
コンプでの音質変化を嫌い、EQを後に挿す人もいます。プラグインごとに毎回リミッターを挿す人も居ます。
空間系の後に音圧系を挿すと、空間の余韻のコントロールが難しくなる気がします。
が、空気感ごと音圧稼ぎに利用するというのであれば、それも面白いと思います。

結局、順列は作業効率に影響するものであり正解は無いと思います。

あまり豊富な経験がある訳ではありませんが...

当然の前提として、マイクの使い方は間違っていない（セッティングする人は機材の使い方を正しく理解している）ものとします。

>> ピークに触れたり声が小さすぎたり //

スペアナで確認して、いつも特定の帯域に強いピークが出ているのであれば共振の可能性があります。たとえばブースの窓とマイクの距離を変えてみるとか、マイクの角度を少し左右にズラす（ブースに対して若干斜めに向いて歌う）とか、ブース内であってもマイクの周囲に吸音材を置いてみるとかで解決するかも知れません。

もう1つは歌手の問題で、マイクの指向性を捉えきれていない可能性が高いでしょう。歌手としての力量とマイクやヘッドフォンの使い方の上手・下手は別です。それだけ極端なレベル差があるなら返し（モニター）で自分の声の大きさの違いに気づくはずですが、レコーディングに慣れていないと「そもそもモニターを聞いていない」ということもあり得ます。

どちらでもないのであれば、あまり時間もないようなのでマイクプリの次にコンプを挿して掛け録りするのが無難でしょう。ただ、掛け録りはやり直しがきかないので、コンプ自体を使いこなせないと悲惨なことになりかねませんが...（1回やらかしたことがあります）

ちなみに、ボーカルブースを使わず、安物マイクでもプロ（Focusriteの元エンジニア）が録ればこの程度の音質にはなる、という例（多分ボーカルはRode NT2-A、ギターはAKG P170）。
https://youtu.be/TNqoRKr2_CI

>> レコーディング後の大体のボーカル加工方法 //

人によって流儀が違うのと、ケースバイケースで最適な方法も異なるはずなので、これがベストというのはないでしょう。ただ、EQが最後というのと、空間系エフェクトとディエッサーが同レベルというのは、ちょっと？ですね。

普通に考えると、ピッチ・テンポの補正、不要なブレスや無音部分のノイズ除去が1番目、続いてEQで音質調整、コンプで音圧の圧縮、最後に空間系エフェクトでしょう。ただしEQとコンプは逆順にする人もいます（コンプがEQに反応するようにしたいか、EQだけ際立たせたいかの違い）。もちろん、マスタリングEQとかなら最後の最後で掛けますが、トラックEQなら先に掛けた方が無難だと思います。

ディエッサーはEQの前か後でしょう。

それと、コンプとリミッタは基本的に同じで、音圧を圧縮するかピークを超えないようにする安全装置かという着眼点（主な使用目的）の違いがあるだけです。あまり何度も通すとのっぺりした音になるので、乱用は禁物です（敢えてそういう音作りをしたい場合は別ですが）。

アマチュアで、あまり熱心にやっている者ではありませんが、質問を読む限り、ミキサーの前段でコンプをかけるべきだと思います。ネットで見てみると掛録りすべきではないという意見も多いようですが、そんなことは画一的に決めることではなくケースバイケースであり、特に声量のある人の場合には必要だと思います。
ミキサーやオーディオIFなどのハードウェアはもちろん、PCソフトでも限界があり、一定のレベルにしか対応出来ないので、素の音が忠実に録音できる訳ではありません。後処理でなんとかしようとしても素材がダメならどうしようもありません。
「ピークに触れたり声が小さすぎたりと」とありますが、まさにそういうことに対処するための機材がコンプなんですから、ここでは使うべきだと思います。