モバイルブースター

> この手の機器は過充電防止機能などはついてないのでしょうか？
・モバイルブースターは出力機器です。
しかも、特定機器や特定用途向けに製造された製品ではなく、多用途向けの製品です。

エネループモバイルブースターには、出力機器側（＝エネループ本体）を守るための過放電防止機能は付いています。
しかし、エネループと携帯電話の間に充電情報のやりとりが行われる信号通信が行われる仕組みはありません。
従って、エネループ側を制御して、過充電を防止する機能はありません。（付けられません）

過充電防止機能は、入力機器側（携帯）に付いているのが普通です。

スマホではない携帯電話のAC/DCアダプタは、5.4V700mA出力。
モバイルブースターの出力は5.0V500mAまたは1000mA。

で、ご質問の核心はご心配の通り。
モバイルブースターの電圧は0.4Vほど低いため、携帯電話側の過充電防止機能は正しく機能しない可能性はあります。
モバイルブースターを用いて携帯電話を充電する場合、満充電を見計らってモバイルブースターを取り外した方が安全です。

なお、30分や1時間程度で、過充電によるバッテリー不良の危険性は、マズ、ありません。
過充電によるバッテリートラブルは、一般的に2時間以上です。