携帯分割の審査落ちにつきまして

基本的に審査はいつでも出来るでしょう。審査に通るかは別問題ですから

割賦契約が可能かの可否を行うのは、KDDIです
よって、KDDIの審査部門に審査について問い合わせるしかありません。（ユーザからの問い合わせ窓口はないですけどね）

KDDIが、あなたの現在の借り入れ状況などから、新たな割賦契約が不可として判断したために、通らなかったになるでしょう。
よって、現在の割賦契約があるなら、残りを一括などで返済したら、通る可能性もあります。ただ、それでも通らない可能性もありますけどね。

＞携帯端末の分割が使えないのは、余程の事だと書いてある記事も確認しております。

質問者さまが認識している通り、余程の事ですね。

＞CICに問い合わせる方法を聞きましたが、そこまでする状況だと思えません。

逆に、「余程の事」ですから確認した方が良いのですがね。

＞何が問題なのか、再度　審査できるのはいつなのか。

まぁ、多くある一般的な理由は・・・。
１．転職後１年以内。
１．引っ越して１年以内。
１．過去に（忘れていた何かの）返済事故がある。
１．分割申込書の記載事項・内容が誤っている。
先ず、分割申込書の「控え」を確認して下さい。
記載事項・内容に誤りがなければ、各個人信用情報機関に情報公開を請求する事です。
同姓同名・生年月日も同じだと、誤って他人の事故情報が登録されている場合が時々あります。
何も行動を起こさないと、住宅ローンも組めなくなりますよ。
ギリシャでは「借金は返さない。が、新たに融資しろ！」という国民の非常識な意見が大多数でした。
が、日本では「返済しないと、新たな融資はしない」のです。

auではないので参考になるかはわかりませんが、
自分はクレジットカードを新規に作るとき審査で落とされたことがあります。
ちゃんと勤めてるし収入もある。当然過去に事故もないし。と全然納得いかなかったので
そのカード会社に電話して聞いてみたところ、ほんの些細な書類の不備があっただけでした。
それを修正し、再度新規登録をだしたらすんなり通っています。
そういうケアレスミスはありませんか？いちいちミスを指摘してくれないこともあるようです。