後遺症申請は行政書士に依頼すべきかお教えください

ご連絡遅くなり、申し訳ございません。
私は大阪・梅田で仕事をしています。もし、差し支えなければご相談をお受けいたします。ご指定の場所へ出向くことも可能ですので、ご検討ください。参考ＵＲＬが私のホームページです。メール相談からご連絡ください。
兵庫県の先生をお探しでしたら、「兵庫県行政書士会」のホームページから、お近くで後遺障害等級認定の業務をされている先生を探すことができますので、あわせてご検討ください。

保険会社を通じて交通事故後遺障害等級認定の手続をされて、「非該当」＝後遺障害を認めないという結果が出たとのことですね。
交通事故後遺障害認定や質問文中にあった異議申立が行政書士が業務として受けられる業務になります。
異議申立にあたっては、認定時の判断の誤りなどを説明できるかがポイントになります。今回のケースでは、半月板損傷が事故との因果関係を否定されたかたちですね。加齢によって骨などが気づかないうちに損傷していて、事故の時に撮影した画像でわかるというのは、業務を行っている行政書士にとっては、よく聞く話です。
とはいえ、事故前からあった症状ではないと否定できる要素を見つけられる可能性もありますので、交通事故後遺障害申請業務をされている行政書士にご相談されて、お手元の資料等から異議申立ができるかどうか判断いただいたほうが良いと思います。
裁判等はいわゆる示談交渉の折り合いがつかない場合の話であって、後遺障害等級認定の有無で示談金も変わります。順番は異議申立をするかしないかのご判断が先かと考えます。
日常生活やお仕事に支障が出ているとのこと、くれぐれもご自愛ください。

これって、そもそも後遺症云々を誰に認めさせるのかが問題になると思います。

おそらく、保険会社又は加害者側に認めさせるのが目的だと思われますが如何でしょうか。

仮に、保険会社又は加害者側に認めさせる目的なら、最悪の場合には『裁判』という手段になります。

弁護士法という法律の規定上から法律争訟(法律トラブル)に関しては、弁護士以外は業務を行うことは禁止されています。

よって、行政書士が業務として引き受ける可能性は大変低いのではと思われます。