同棲することが決まりました！彼のご両親への挨拶は必要ですか？

そんなのはどっちでもいいと思います
決断それ自体に正解も不正解もないです
しいて言えば決断の速さが最終的な正解につながります

＞一緒に住んだら彼の仕事を少しサポートしてお給料を貰うか、私は私で再就職するつもりです。

ここの部分次第かもしれません。

同棲が、事実婚や恋人関係で、「家計を一にする」行為なら、それは家族を形作る行為なので、両親への挨拶はしたほうが良いかと思います。

給料をもらう関係は、同居している秘書、家政婦の関係ともいえますから、ビジネス上のものに過ぎません。両親にあいさつは、雇用主の家族に対してのあいさつになりますから、彼に手土産を託す関係とは異なります。従業員としてあいさつをすることはアリだと思います。

ご自身の意識上で、相手と恋愛関係があってももらう給料を自分のために使う、「異なる家計」なら、その上での同居って、一種の援助交際、愛人の関係になります。相手が独身だから違和感が無いだけで、ご自身からあいさつをするという行為は、家族への移行への宣言になります。

どういう関係をご自身が求めているかによるように思います。

ちなみに、家計を一にする　というのは、べつに財布が別々でもいいんです。家計を相談しながら互いに出し合っていれば、または片方だけが出していればそれは家族なんですね。
https://www.keisan.nta.go.jp/survey/publish/39480/faq/39509/faq_39615.php
こんな感じの話です。

男女の同棲で、家族かそれになろうとしているのか、そうでないのかは、世間や両親から見ると大きく異ることで、たとえ恋愛関係があっても従業員と雇い主の関係なら、雇い主と対等な立場で雇い主の両親にあいさつをするというのはおかしく見えると思います。

#4です。補足ありがとうございます。

お父様にとっては、
女関係も「遊びすぎ」に含まれる事柄でしょうし、
万一妊娠したりすれば
相手の人生の責任を負う可能性もでてくるから
勉学優先、の妨げになるとお考えになるのではないか、
と思います。
しかも挨拶も無しに居候されてれば
気分悪いんじゃないでしょうか。

ということで、お父様にはもしかしたら
きつく言われたり反対されたりするかもしれないけど、
挨拶しないよりはマシな状況になるだろう
と考えます。

大人と関わり合いを持つ場合、とにかく直接会って挨拶することですよ。
あいての両親がどういう人か分かるし、また貴方を知ってもらうことができます。
結婚を意識させるとか、そんなことは考えなくていいです。挨拶しておきたいから会いに来た、で十分です。両親からすると、どういう人と付き合ってるのか、まずは知りたいはずだしね。

彼は結婚前提とした同棲でしょうか？

そこの意識が違うと、長く付き合ったのに30歳前で
住まいも職も若さも恋人も失う
ということになりかねません。

お父様にとっては、同棲はNGでしょう。
お母様にとっては、まあ今後どうなるかわからんし、程度の事だと思います。
ですから、彼がどう考えているか、によって
同棲自体
今後の関係を考えたら「今ではない」事かも知れません。

もし彼も遠くない未来に結婚を考えたうえの同棲なら
挨拶はきちんとしておいた方が
自分のためでもあります。
ゆくゆく親族になる人に悪い印象を持たれないように
きちんとすべきことはしておきましょう。