結婚したことを会社に秘密にすることはできますか？

＞会社には何も言わないで、役所に婚姻届をだして、そ知らぬ顔をして過ごすことはできるでしょうか？
しばらくの間はごまかせると思いますが、ずっとというのは難しいと思います。同居するようになったり子供が出来たりすると、ますますばれる可能性は高くなりますし、何より貴方自身、奥様や子供の存在を隠し続けるのが辛くなるのではないでしょうか？
出来ることなら転職することをお勧めします。告訴すれば貴方が勝訴する可能性は高いと思いますが、その後も同じ職場で働き続けるのは精神的に辛いのではないでしょうか？また、告訴した事実は調査すればわかることですから、告訴後に居辛くなって転職しようとしても採用され難いことがあります。（←知人の経験談です。）
＃４さんの仰るように、ユニオンに相談してみるのも良いかも知れませんね。

年末調整の時期になると、それに伴う書類があります。
書いた事ありますよね？
それには、扶養に関係無く、配偶者有り・無しに丸印を付ける欄があった気がします。
配偶者の名前も記入する欄もあった記憶もあります。(定かではありません）
今は専業主婦ですが、扶養に入らず主人と同等の賃金を貰っていた時に、「扶養ではないし特に書くこと無いよね。配偶者有りに丸で、名前書いて終わりで簡単」との会話をしていた記憶があります。

配偶者有り・無しの欄に無しを記入すると虚偽をしたことになると思います。
黙っている事と虚偽とは別だと思います。

退職するつもりを考えているなら戦えば良いと思うのですが・・・。絶対に勝てるはずです。

＞訴訟にまで踏み切る勇気も出てきません。
訴訟ではなく、ユニオンに相談してみたらどうですか？

No.1の方へのお礼コメントで
＞講師⇔学生の恋愛をフリーにしてしまうと
と仰っていますが質問者さんの彼女さんは今現在の在籍生ではなく
既に卒業してるのですよね？
だとしたらどう考えても会社側の言うことが100％おかしいと思います。
講師と生徒の恋愛がいけないというのは普通の学校でもあることですから
仕方ないとしても、規制するのはあくまで「生徒」の立場にある場合まで
のみに限定すべきかと・・・・
卒業生についてまで規制するなんて、とてもまともな人間が言っていることとは思えませんよ。

そんな、おかしな事を当たり前のように主張するような会社はさっさと
見切って、まだやり直しの利く年齢のうちに「常識的で普通の」新しい職場を
探したほうが良いのでは？
会社の理不尽な規則の為だけに遠慮して入籍後も別居するとか、そんなのは
絶対おかしいです。当面と仰ってますが、一体何年間、そんな不便でつまらない別居生活を続けるおつもりなのでしょうか。

結婚に際し、職場に旧姓を報告したり、経歴を報告する必要は全くありませんよね。
だったら、珍しい名前でないなら、卒業生だとバレないのでは？
結婚式は身内だけで、と言うことにして職場の人は呼ばず、新居はなるべく職場の人の行動範囲外にするとかいう配慮は必要でしょうけれど。
それと御祝い貰うために婚姻届の写しなどが必要な場合は困りますが、その辺はしらばっくれて貰わなければいいのだし。

もしかして？と疑われて旧姓を訪ねられた時のために嘘の名字を用意しておくと万全かも・・・いつかバレたらそれはそれで辞めたらいいんだし。

結婚を理由に退職を迫ることは違法です。

＞学生と恋愛・交際は
就業規則で厳しく禁止されています。

恋愛は自由。就業規則などで規制される筋合いのないものです。解雇されたら訴訟を起こすことを伝えましょう。