学校を卒業し年金の申請について。

＞　今まで学生のため免除になっていた

国民年金（国民基礎年金／第一号被保険者）が、「若年者納付猶予／学生納付特例」が認めらていたということですね。
二十歳過ぎであり、また、「若年者納付猶予／学生納付特例」が認められたということは、当然、年金手帳もありますね？
、「若年者納付猶予／学生納付特例」ならば、文字どおり、「猶予／特例」であり、免除ではありません。

下記サイトの○×表を見てください。
http://okwave.jp/answer/new?qid=8936085
「若年者納付猶予／学生納付特例」の期間はは、将来の国民年金（正しくは、国民基礎年金。貰うときは老齢基礎年金の名称）の年金額には反映しません。

現在、国民年金（国民基礎年金）からの年金支給額は、半分が税金です。（数年前は、１／３が税金）
「若年者納付猶予／学生納付特例」の期間の分の掛け金を納付をしないと、将来の年金額は、税金分までも貰えません。

年金支給として、税金分も貰うためには、「若年者納付猶予／学生納付特例」の期間分の掛け金を納付する必要があります。
保険料免除・納付猶予（学生の場合は学生納付特例）は10年以内であれば、後から追納して老齢基礎年金の受給額を満額に近づけることが可能です。（追納制度）
ただし、保険料免除・納付猶予を受けた期間の翌年度から起算して3年度目以降は、当時の保険料に一定の金額が加算されます。

★　「若年者納付猶予／学生納付特例」が認められると、その期間の掛け金は、納付期限が先送りされるだけですし、掛け金を納付しないと、その期間の年金は税金分までも貰えません。
免除・一部納付の場合は、最低でも税金分としての年金の半分はもらえます。（残り半分は、免除・一部納付の割合になる）



＞　市役所に申請に行くときに学生証のコピーなどが必要なようなのですが、学生証はもう学校に返却してしまいました。

市役所に行くというのは、国民年金の「免除・一部納付」の申請ですか？
ということは、就活中？、無職？、アルバイト？、等での、免除／一部納付の申請ですか？
身分証明は、学生では有りませんので、運転免許証とか、住民票などでしょう。

卒業したのなら、会社の勤め始めるのですか？
給与所得者（会社員・パート等）になると、年金番号を確認するために年金手帳を提出して、会社の厚生年金（第二号被保険者）に加入します。（年金手帳を提出するのは、年金番号を正確に確認するためです）
厚生年金（正しくは、社会保険）に加入すると、会社が社会保険（つまり、厚生年金）の申請をするので、国民年金のために市役所へは行くことはありません。

厚生年金になると、将来の年金は、国民年金　＋　厚生年金の２種類がもらえます。
もし、厚生年金加入者が、結婚して配偶者に所得が無ければ、会社に届けると、配偶者は「第三号被保険者」になれます。
第三号被保険者になると、国民年金の加入者と認められて、掛け金の納付をしなくとも、将来、国民年金（老齢基礎年金）がもらえます。

もし、会社に厚生年金が無いのなら、違法ですが罰則がありません。その場合は、国民年金しかありません。