社会保険について、お聞きしたいです

国民年金は、会社へ年金手帳を渡せばそれで終了です（会社が厚生年金への切り替えを手続きします）。
しかし、国民健康保険については質問者ご自身で脱退手続きをしなければなりません。会社入社から、原則２週間以内に役所（市区町村役場）の健康保険課（どこの役所でも、この様なネーミングだと思います）へ健康保険証を返納してください。その時に、払い過ぎた料金（税額）を計算してくれます。役所によっては、その場で振込先口座番号を聞いてくる場合もありますし、後日納税課から振込先記入用紙を送ってくる役所もあります。決して、その場で払い過ぎた料金（税額）を還付するようなことはありませんので、手元に戻るまでは２～３か月待つ感じとなります。

年金の切り替えは会社がすると思いますので会社に問い合わせて下さい。
保険はご自分で切り替えなければならないようです。市役所に問い合わせて
下さい。（会社にもそれで良いか、確認すると良いかと思います。）

●　国民基礎年金（国民年金）から、厚生年金の場合。
厚生年金（配偶者の第三号被保険者も含む）に加入すると、会社経由で日本年金機構に届けが出ますので、届は不要です。
もし、厚生年金（配偶者の第三号被保険者も含む）の手続きが遅れて、加入期間が両方にタブっても、日本年金機構ではダブり期間が把握できるし、保険料を両方に納付した場合は、後日、ダブった国民年金の保険料は金融機関の口座に振込されます。

逆の、退職して無職のため、厚生年金（配偶者の第三号被保険者も含む）の加入者でなくなった場合は、退職の証明書類を持って、国民基礎年金（国民年金）の加入届を出すことが必要です。
退職して無職の場合は、国民年金の加入届を出さないと、年金に無加入期間となります。（日本年金機構では、退職・無職によって、厚生年金の保険料納付が無くなることは分かるだけで、どこの、どの年金に加入したか分からない）

参考：官公庁の返金は、必ず、金融機関の口座に振込です。


●　国民健康保険（国保）から、会社の健康保険の場合。
会社の健康保険証を持って、国保の脱退届を自治体に出しましょう。
会社の健康保険証を貰うのが遅れて、国保との加入期間がダブっても、会社の健康保険証の交付年月日で加入月のダブりを確認します。
もし、国保の保険料納付ともダブっていれば、後日、ダブった国保保険料は金融機関の楮に振込されます。

参考：官公庁の返金は、必ず、金融機関の口座に振込です。


●　転職の場合、新しい勤務先が零細企業・個人企業などの場合は、厚生年金も、健康保険も、無いことがあります。無い場合の言い訳は理由は、経費節減などです。
厚生年金も健康保険も無いのは、違法なのですが、罰則が無いのが抜け道となっています。
厚生年金も健康保険も無い場合は、自分で国民年金に加入（夫婦ふたり分）したり、国保に加入（扶養の制度が無いので、人数分の保険料）するしかありません。