薄いCu材をSUS材に抵抗溶接する際の問題と解決方法

＃１さんの回答の通り、銅の溶接は鉄系の溶接よりも難しいようです。

電気抵抗が低い銅を発熱させるため、溶接電流は高く、通電時間も長くしなければいけません。よって電極は高温硬さが求められます。銅系電極ではうまくいかないようです。
銅系のスポット溶接には、タングステンやモリブデンの電極が一般的です。高温硬さが銅電極よりも優れています。また、タングステン、、モリブデンは電気抵抗値が高く、通電電流で発熱し易く、その熱を銅ワークに伝えて溶接し易くすることもあります。

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抵抗率の低い材料（銅やアルミ）を抵抗溶接で安定に溶着することは一般
に困難なことのようです。

抵抗率が低くても，コンデンサに蓄えたエネルギーを一気に溶接部に投入
できるコンデンサスポット溶接が安定性を改善できるようです。接触抵抗の
バラツキなどで通常の抵抗溶接は溶接部に投入されるエネルギーが変動しや
すいのですが，コンデンサ方式は投入エネルギーが安定化できるようです。

抵抗溶接であっても，溶接部への投入エネルギーをセンサでモニターして，
電流の導通時間（遮断タイミング）を自動制御すれば，安定化できるように
聞きかじったことがあります。

なお，電極材料として，接合したい材料が銅材であるのにに対して，同じ材
質の銅電極はあまり適切ではないように思います。
抵抗率が低くて，温度上昇に対して硬度が低下しない材質が望ましいでしょう。
タングステン銅などが候補のように思います。