嫁である私も旦那の親にお歳暮を贈るのですか？

同居されている場合は嫁の立場で御歳暮を贈る必要はありません。
もちろん御主人から実両親に御歳暮を贈る必要もありません。

別居されている場合ですが、これは御主人との連名で贈ります。
貴女が個人的に御歳暮を義父母に贈る必要はありません。
つまり両家に御歳暮を贈るのは、全て御主人との連名にて贈るのが
基本です。ただ個人的に深く御世話になった場合は、連名ではなく
個人的に御歳暮を贈る場合はあります。そうでなければ連名で失礼
にはなりません。

御歳暮とは年末だから贈ると言うのは間違いで、その年に御世話に
なった気持ちを品物に代えて贈るのが御歳暮です。

うちは、義両親からは私の親と私たちの家族に贈ってきました。
私からは義両親のみに送りました。（自分の実家が隣なので必要ないと言われていたので）。数年は義兄家族にも贈っていたのですが、ある時から辞退するとなったので、正月の手土産だけになりました。
親同士じゃなく、あなたもいずれ親世代になるわけですから、一家庭人として考えた方がすっきりすると思います。親同士はそのうち無くなります。最初の数年だけというのが多いみたいです。年賀はがきは送るというのが多いみたいですけれど。
嫁の立場というよりも、一家庭として考えましょう。夫の名前で双方の実家に贈るということです。

最初からの認識が誤っていたということになりますね。

それぞれのご家庭によって違いますから、ご主人と相談して
問い合わせてもらったらいかがでしょうか？

我が家は里方実家私たちで話し合って不要と取り決めました。
そのかわり折々にお土産やお取り寄せを送りあっています。

私の場合ですが、双方の親に贈ったことはありません、逆に嫁側の親から中元と歳暮を送ってきます、と言うことでそれぞれでしよう

　それぞれの家によってしきたりが違いますので、夫となる方に聞いてみた方が良いと思います。我が家は私も夫もお中元やお歳暮を親に贈りませんし、親同士も結婚した当初の２年ほどはしていたようですが、双方で申し合わせて今はやめています。ですが、ママ友には夫の親だけでなく、自分の親にも夫からとしてお中元やお歳暮を贈る人もいますし、家庭を持っている兄弟にも贈るという人もいます。

　贈り物に関する考え方は家によって違うので、最初の１年は相手に一つ一つ聞いて確認するほうが無難です。お中元やお歳暮はしないけど、お誕生日や父の日・母の日をとても重要視している家庭もありますから、贈られる側の人の習慣や考え方に合わせて贈る・贈らないを決めたほうが、印象も良くなるように思います。