交通費について

その質問は　ここではなく　ご自分の会社に聞くべき問題だと思います。
ここで聞いても正解は出ないでしょう。

20日締め、翌月5日払いですねｗ

会社の規定によります。
例を挙げると、
・8月5日の給料日
・現在使っている定期券が切れた後から
などです。

どうなるかは，その会社の規定によります。
そもそも通常の場合に，通勤手当がいつの分がいつ支給されているのかも明らかにしないままでは答えることは困難です。

その会社の賃金規定次第です。

ウチの会社の場合、通勤手当は3ヶ月定期が基準になっているので3ヶ月に1回の支給で、支給月の翌月から3ヶ月分の定期代を支給すると言うルールで、運賃改定があった場合は改定日以降の支給月から羽根井されることになっています。

質問者様の会社の就業規則がどうなっているか、に依存します。
ただ、一般的には「申請が受理された翌月分からの反映」になるのが通例と思われますので、7/1に申請をした場合、7/21-8/20分の給与から反映されると思われます。
であれば、9/5に支払われる給与には反映されている可能性が大ですね。

以上、ご参考まで。