配偶者の扶養について教えてください

国民年金第３号被保険者関係に関して「あえて手続きをしなくても自動的に変更される」という認識は、誤りです。
第３号 ⇒ 第２号という種別変更ばかりだとは限らない、という認識が欠けるとこのような誤った認識になってしまいがちです。

自動的な変更ができないのは、健康保険組合との絡みもあるからです。
日本年金機構で一元管理することには困難が伴うわけです。
また、さまざまなケースがあるため、切り分けて取り扱わなければならないためでもあります。
要は、システム的に自動処理することにはなじまないのです。
事実「年金不整合問題」といいます。

このケースのように、配偶者が、第３号 ⇒ 第２号（厚生年金保険加入）へ種別変更がなされる場合はともかくとして、第３号 ⇒ 第１号（国民年金加入）へと種別変更される場合には、特に、届け出の漏れに注意しなければいけません。
以下のような場合です。

◯　会社員・公務員（第２号被保険者）である本人であって、配偶者（第３号被保険者）がいる場合
・本人が退職したとき
・本人が自営業になったとき
・本人が65歳を超えたとき
・本人が亡くなったとき
・離婚したとき
・配偶者の年収が基準額以上に増加して、配偶者が扶養から外れたとき

配偶者が就職して第２号被保険者になったときには、届出等は配偶者の勤務先で行なわれることになるため、一見、届出が不要になるように思えます。
ですが、ブランクなく行なわれるとは限りませんので、１日でも空きが伴う場合には、どうしても国民年金第３号被保険者関係届が必要です。
このことをきちんと認識していない回答は、誤りであると言わざるを得ません。
　

少し誤解があるようです。

奥さまを健康保険の被扶養者、年金の3号被保険者としても、
本人の保険料は変化せず、事実上奥さまの保険料が無料です。

普通は健康保険の被扶養者異動届には国民年金第3号被保険者関係届が
セットになっていますので、同時に手続きすることになります。

もっとも、年金は一元管理されていますので3号関係はあえて
手続きしなくても自動的に変更されているはずです。
変更されてもあなたの保険料には変化はありません。

正直申しあげて、社会保険上の扶養に関しては、他の回答はピントはずれな内容になっており、残念に思います。
少し状況を整理したほうが良いかもしれませんね。
以下のとおりです。

＜いままで＞
◯　あなたは、会社の健康保険組合で、健康保険の被保険者になっています。
◯　あなたの妻は、その健康保険の被扶養者（健康保険上の扶養）です。
◯　被扶養者なので、あなたの妻は、国民年金第３号被保険者です。

＜これから＞
◯　あなたの妻は、パートで、妻自ら、あなたとは別の健康保険に入ります。
◯　被扶養者でなくなるので、妻自身が、別の健康保険の被保険者になります。
◯　妻自身は、自ら、厚生年金保険に入ります（国民年金第２号被保険者）。

国民年金第３号被保険者であるあなたの妻は、妻自身としては、いまも厚生年金保険に入っているわけではありません。
ここを、あなたは勘違いなさっているようです。
つまり、あなたの妻の分を会社が払っている、というわけではありません。
あなたの妻は、国民年金にしか入っていない、という状態なのです。
ただし、あなたの妻もあなたも、妻の分としての国民年金保険料の納付は必要としなかったはずです。
これは、厚生年金保険の制度全体で国民年金第３号被保険者の国民年金保険料に相当する金額を拠出しましょう、というしくみになっているためです。
（厚生年金保険料は、本人負担・事業主負担ともに、その拠出を見込んで設定がなされています。）

このしくみによって、あなたの厚生年金保険料については、あなたの妻のパート云々とは関係なく、いまもこれからも、基本的には変わりません。
ただし、定時決定や月額変更といって、あなたの報酬の変動に応じて、保険料は上下します（いままでの給与天引きでも経験なさってきたはずです。）。

ということで、まとめると、次のようになります。
少々切り分けて考えなければならない点がありますから、十分にご理解下さい。

【１】被扶養者から抜ける手続きを、あなたの健康保険のほうで行なう
★　協会けんぽのときは、健康保険被扶養者異動届を、年金事務所へ提出する。
★　組合健保のときは、同じく、健康保険組合へ提出する。

【２】国民年金第３号被保険者ではなくなる、という手続きを行なう
★　協会けんぽのときには、健康保険被扶養者異動届と第３号被保険者関係届が一体の届書になっているので、下のものを年金事務所へ提出する。
http://www.nenkin.go.jp/service/kounen/kenpo-todoke/hihokensha/20141224.files/0000023952lxunYl35Gf.pdf
★　組合健保のときには、あなたの健康保険組合で事業主確認を受けてから、下の国民年金第３号被保険者関係届を年金事務所へ提出する。
http://www.nenkin.go.jp/service/kounen/kenpo-todoke/hihokensha/20141224.files/0000023952lxunYl35Gff.pdf

【３】妻自身で、あなたとは別に、自ら健康保険や厚生年金保険に入る
★　上記１・２がどちらも終わっていることを前提に、妻は、自ら、あなたとは別の健康保険や厚生年金保険に加入できる（国民年金第２号被保険者）。

【１】は終わっておられることと思います。あなたの妻の健康保険証（被扶養者用）を返却なさっているご様子ですから。
問題は【２】です。このことがおわかりにならなかったのだと思います。
あなたは健康保険組合ですから、上述したように、届書が一体にはなってませんので、別途、きちっと単独で年金事務所に届け出なければならないわけです。

あなたの妻が被扶養者ではなくなる、という認識は間違っていません。
かつ、国民年金第３号被保険者ではなくなるわけですが、しかし、こちらのほうは認識が十分ではなく、また、届出方法の詳細が不明だったというわけですね。

要は、国民年金第３号被保険者に関する知識が十分ではなかった、と思います。
上述したとおりですから、速やかに処理をお済ませ下さいね。
はっきり申しあげて、それだけで済んでしまいますから。

また、配偶者については、実は、税制上の扶養と言う概念はありません。
配偶者以外については扶養と言いますが、配偶者についてはそうではなく、扶養控除の対象でもありません。
その代わりに、配偶者控除や配偶者特別控除というものがあって、それに応じてあなたの負担する税額が軽減される、というしくみになっています。
（詳細については、この質問本来の目的とは違いますので、割愛させていただきます。）

おわかりいただけましたでしょうか？
しくみがわかってしまえば、決してむずかしいものではありません。
　

税法上は、給与所得なら（パート含む）年の総収入103万円まではあなたに配偶者控除が付けられ、それを超えて130万までは配偶者特別控除を付けられます。
それによって、あなたの所得税が若干減る事になります。

社会保険上は、月収108333円が継続した場合（基準は2ヶ月以上）は扶養から外れます。
この場合、被扶養者（妻）は別に何らかの社会保険へ加入する義務があり、パート先の社会保険か個人で国保・国民年金へ入ります。
会社（パート先）の社会保険へ入るには会社が適用事業所である事が必須で、たぶん違うのでしょう。個人で国保・国民年金に入るのですね。（市役所手続き）
採用条件云々ではなく、法定通りになります。会社が任意で決める事はできません。

あなたの方は、妻の収入（所得）を会社へ申告して手続きです。妻が完全に扶養から抜けた場合は配偶者控除が無くなるので、税金が高くなる、手取りが減る、という事になります。税金は1年間の合計で決定されるので来年からでしょう。
会社の社会保険では、扶養によって保険料が上がる事はありませんので、あなたの社会保険料には変化ありません。
ただ、会社独自の扶養手当などは変化があるかもしれません。

> これまで妻は私が勤務する会社の健康保険組合の保険証を使っており年金は会社の厚生年金で支払っておりましたが

そんなはずはありません。奥さんは健康保険料も年金保険料も支払わないで，健康保険の扶養家族かつ国民年金3号被保険者だったはずです。
これからは自分で健康保険の被保険者になり厚生年金の被保険者になるのです。
> 社会保険の内訳は、健康保険と国民年金
というのは勘違いでしょう。
したがって，あなたの会社には健康保険と年金の扶養家族でなくなったと届け出てください。

税法上は，今年は12月までに働く期間が6か月くらいにしかなりませんから，配偶者控除の対象になるでしょう（あなたの年間所得は1000万円以下ですよね）。