バランスウエイトとして探している重い物とは？

その後どうなったのでしょうか？
問題が解決したなら締め切りませんか？
それと結果を教えていただけると助かります。

参考ＵＲＬの高比重樹脂は、比重１２の実績があります。実験的には比重１４まで可能で比重をコントロールできるとのことです。加工方法は射出成形がメインですが・・・

タングステン合金（ヘビーアロイ）がお勧めです。比重は １８前後 ヘビーアロイ製のシンカーも最近 釣り具やさんで販売されています。少量なら 販売品を購入して加工される方が安く付くと思います。
量がまとまるなら、下記のようなメーカーでも対応可能では、

こんばんはbigheartです。
詳しいことは分かりませんが最近では『高比重樹脂』なるものがあるようです。
比重１４まで出来ると書かれています。
下記ＵＲＬを参照してください。
詳しいことはそのまま質問してみては？
ご参考までに、

トータルとして何g（kg?）必要とされているのでしょうか？また何℃までもてばよいのでしょう？商品に入れるのか、実験・研究か、でも変わってきますね。

一般的にはPb（11.4）でしょう。商品に入れるのなら環境上不適切ですが。粘土状のもの等、ホームセンターでも売っていますよね。
あるいは…
Cu（9.0）：安い、機械加工可。
Ｗ（19.3）：φ1-L1000mmで2000円位だったと思います
Pt（21.5）：微量でいいのなら。RやBの熱電対の使い古しを。
Hg（13.5）：液体でいいのなら。企業だと使わせてもらえなさそうですが。