坂から円盤を転がすと、回転速度と移動速度は？

高さh=Hのところから、半径r・質量m・慣性モーメントIの円盤が転がり落ちる場合を考えます。あくまでも滑りは発生しないと仮定します。ここで、h=0での円盤の「回転速度ω」及び「移動速度v」を求めます。
エネルギー保存則より、以下が成り立ちます。

　(mv^2/2)+(Iω^2/2)=mgH　　　・・・・・(1)

また、円盤が転がることから、

　v=rω　　　　　　　　　　　 ・・・・・(2)

となるので、(1)に(2)を代入して、ωについて解くと、

　ω=√{2mgH/(I+mr^2)}　　　　・・・・・(3)

(3)を(2)に代入して、

　v=r・√{2mgH/(I+mr^2)}　　 ・・・・・(4)　　

いかがでしょうか？

摩擦係数によって円盤が滑るか転がるかが決まるので、厳密には違うとは思うのですが、とにかく滑りはないとすれば、l=H/sinθ　として、

(mv^2/2)+(Iω^2/2)＋μmgcosӨ・ｌ=mgH

で良いのではないかと思います。

但し、あくまでも滑りはないという仮定の下ですので、実験等で確認された方が良いと思います。

基本は坂の斜面を滑り落ちる物体と同じ振る舞いで良いでしょう。
昔理科の時間に習ったアレです。
その際の摩擦係数は転がり抵抗になります。坂の表面、円盤の表面により適宜設定して下さい。それぞれが硬ければ硬いほどμはゼロに近くなります。
加速度aは重力加速度gにして円盤そのものの速度が出れば、回転速度はおのずと出ますね。
では