アリ溝の熱膨張で困っています

冷却用の穴を加工して、冷却水を入れるか
銅管に冷却水を通して、それを巻き付け冷却するかを
考えた方がようでしょう。

精度を上げる加工は、恒温室で温度を一定にして行ないます。
それに準じて、冷却して当初の温度設定から、温度上昇しないで
使用できる環境作りをすると、問題は解決可能です。

但し、冷却用の穴を加工も、銅管に冷却水も防錆に注意して下さい。

カミソリ(ギブ)とかが入っていない構造ですか？

片方のスライドの間にカミソリなどを入れて調整できるようにして
温度が上がっている時にちょうど良いクリアランスにすれば如何ですか？

　回答(３)ですS45Cの溝を作っている部品Aは温度上昇で膨張し、全体に大きくなります。溝を作っているのは部品Aの内側です。この内側の寸法が大きくなるか小さくなるかですね。
　ところでアリ溝を加工する前の状態を想像してください。これを同じ温度にするとアリ溝になる部分は常温時に比べ大きいですか、小さいですか。
　小さくなると思われているようですが、
アリ溝加工だけをしない（部品A-アリ溝）を考え、それを同じ温度にします。そうしてアリ溝部分を取り出したと考えてください。取り出した「アリ溝」相当の固まりは常温時より膨張してます。そうなると、残ってできたアリ溝は、常温時より大きいですね。
　ジャムのビンのふたが固いときふたを温めるのと同じです。

Ｓ４５Ｃ、鋳鉄共に熱膨張率は１２×１０＾－６程度なので、熱処理してもその数値に大きくは変化ありません。
アリ溝の構造上、温度が加わると凸側は＋側に、凹側は－側になります。仮に溝の大きさを１００ mmとすれば、４００°上昇すれば　１００×４００×１２＾－６＝０．４８mmずつ変化し、常温の時には０．９６mmのスキマが無いと動きません。
高温でも常温と同じ様に動かすのには、熱膨張率の低い材料で製作するしかありません、当然の事ながら粗挽き時にはひずみ取りの熱処理（焼鈍等）を行いながら加工をします。
熱膨張率の低い材料として各メーカーが出していますが、一つの例として商品名が”ノビナイト鋳鉄（榎本鋳工所）”があります。
熱膨張率が材質　ＣＳ－５（メーカーの呼び名）で５０°の時　４．５×１０＾－６、３００°の時２．６×１０＾－６、４００°の時４．５×１０＾－６（メーカー実測値）とほとんど変わらないものも有ります。
これでスライドを作り、常温で調整してもOKとなります。
詳細についてはメーカーと良く相談してください、お値段は結構高いですがそれなりに効果はあると思います。
この材質で２００°Ｃの部屋で使用するスピンドルを製作したことがあります。

アリ溝を利用したスライド機構は下記のように販売されています。これが
高温で使用できるかは判りませんが，機構上は問題ないように思います。
回答(2)さんと同様ですが，(12.90－11.55)×10^-6＝1.35×10^-6　at300℃
の熱膨張差が問題になると思います。例えばアリ溝の最大寸法が20mmとして
300℃の温度差で　約８μm　の寸法差が出ます。ここに凹側がＳ４５Ｃ（熱処
理なし）、凸側は鋳鉄であれば溝の隙間が増える方向のように思います。
この場合は温度によってそりやひねりがでて動作を阻害しているのではない
でしょうか。熱処理を行ってひずみ取りをし，精度を出せば機能するように
思います。