パソコンのメールを印刷するには？

>今までのプリンターは10年以上使っていました
10年以上前のプリンターならプリンタードライバーをインストールしてないとメールどころか、文書も写真も年賀状も何も印刷できないかったでしょう。

自分でインストールしたことを忘れてるだけです。
今回買ったプリンターも取説を見ればドライバーのインストールの仕方が書いてあります。

とりあえず。
印刷したい部分を選択し右クリックし
「コピー」し文章を作成されるソフトを開き貼り付けて印刷。
あるいは
「印刷」もしくは「選択した部分を印刷」をクリックし印刷。
添付画像参考

メールのソフトは？
プリンターの説明ではなく、メールソフトの説明を見ましょう。
ソフトによって印刷方法は異なると考えた方が良いでしょう。
使用されている「メール名の印刷方法」で検索すれば
解説しているサイトがあるでしょう。

例えば
Windows 10の「メール」で受信したメールの内容を印刷する方法
https://faq.nec-lavie.jp/qasearch/1007/app/servlet/relatedqa?QID=017969

Gmail のメールを印刷する
https://support.google.com/mail/answer/8255/imprimer-des-messages-gmail-android?co=GENIE.Platform%3DDesktop&hl=ja

Outlookでメールを印刷する方法
https://dekiru.net/article/19851/

＞何度やっても「保存」が出てきて、印刷に進みません
何をどうされているかわかりません。
Snipping Toolを使用してパソコンの画面をコピーし添付すると
状況が伝わり易いでしょう。
Snipping Toolを使用してパソコンの画面をコピーする方法
https://faq.nec-lavie.jp/qasearch/1007/app/servlet/qadoc?QID=017460
添付している画像もSnipping Toolを利用しています。

メールソフトは何を使っているのでしょうか。それを書き込めば適切なやり方を教えてもらえる確率が上がります。

プリンターとは無関係。
メールソフトは？

メールの印刷はメールソフトの使い方を勉強してください、プリンターの責任ではありません。
なお、プリンター（TS8430）のドライバーを正しくインストールしましたか？