他大学大学院進学のメリットとは？

No.3です。補足にお答えします。

研究室訪問をするさいの連絡ですが、これはメールで行いました。
まず、大抵の研究室が自分のサイトを持っていると思うのですが、そこに教授、準教授または連絡用のe-mailアドレスが載っていると思います。そこにメールを出してみてください。
内容としては、
・自分の所属
・どうしてその研究室に興味をもったのか、どこに興味をもったのか
・訪問の日時の提案
を中心にして失礼の無いようにすれば問題ないと思います。
メールを出す際の自分のアドレスですが、出来るだけフリーメールはさけて、プロバイダのメールアドレスか、大学で支給されているアドレスで出すのがいいと思います。フリーメールだとフィルタでゴミ箱行きという可能性があります。

研究室訪問は３つ行ったのですが、私の場合はどこも先生がまず研究室を案内してくれ、そのつど実験器具や、どういった研究を行っているのかを丁寧に説明してくださいました。パワーポイントをつかってわかりやすく説明してくださる先生もいらっしゃいました。あとは応接室等で自分がどういう研究に興味をもって、こういう研究をしたいと考えてるが、先生の研究室に合格した場合、そのような研究は可能か、などいろいろ質問しました。合格しても自分のしたい研究ができなければ意味がないので、重要な部分だと思います。

先生との話が終わったあとに、院生の方ともお会いして、院での生活（アルバイトや拘束時間など）について質問したり、院試について質問したりしました。どんな参考書を使ったかや、どこを中心に勉強したかなども。後は院試の過去問や内部生の方に講義ノートのコピーをさせていただいたりもしましたね。これは無い研究室もあるかとは思います。私の場合、いずれも解答はありませんでした。

ざっとこんなところでしょうか。もちろん研究室によりけりです。
私は専攻変更でしたので、学部自体はその専攻の講義は一切受けてませんでしたが、先生方の書かれた論文など、内容を理解するのは無理でしたが、要旨くらいはあらかじめ目を通しておきました。研究していることを頭にいれておくくらいはしませんと、有意義な訪問には出来ませんし、先生も困惑されるでしょう。最低限自分がやりたいことは言えるようにしておいてください。
蛇足ですが、研究室訪問の際は私は普段着で行きました。

教えて！gooで「研究室訪問」で検索すれば、いろいろな回答がありますので、参考にされるといいと思います。
それでは、参考になれば幸いです。

私は東北の地方国立大から旧帝大の大学院へ進学しました。
成績は学科の中ではかなり下の方でしたが、過去問をありったけ入手して猛勉強しました。
特に苦手な科目については得意な友人に添削してもらったり。

研究室訪問の際は当然敬語で出来るだけ丁寧な文章を、Eメールで失礼にならない時間帯に送るのがいいと思います。

それと、過去問を入手して解きまくる！
これに尽きます。

それでは、少しでも参考になれば幸いです。

「まわりがなんかぬるっとだれた雰囲気」のなかで，「だいたい半分くらいの位置」から脱出してトップに立つことを，まずは目指したほうあいいのではありませんか。河岸を変えればなんとかなりそうだ，というあなたの発想になじめないですね。

はじめまして。今年の春からM1になる者です。

私も関関同立から他大学（国立）の院を受験し、合格しました。特に勉強をしていたわけではなく、試験前日一夜漬けなんてのもしょっちゅうのごくごくありふれた学生でしたよ。
私は他大学で専攻も変更しましたが、大体本格的に試験勉強を始めたのはゴールデンウィークくらいからですね。しかし、他の方も仰っていますが、その前に研究室訪問をしています。
研究室訪問はその研究室の行っている研究を知るのはもちろん、研究室の雰囲気や教授の人柄（自分に合うかなど）、また、そこの研究室に定員の空きはあるか、仮に入った場合自分のしたい研究ができるかなどをしっかりと確かめておく為に大切なことです。そして、そこの院生に他大学出身者がいれば、いろいろ話を聞くと良いです。試験の過去問や参考書の類を教えてもらえるかもしれません。

ただ、やりたい研究が内部進学で出来るなら、もちろんそれも選択肢にいれるべきだとも思います。関関同立でも素晴らしい研究をされている研究室はありますからね。しかし国公立のほうが環境がいい可能性が高いのは確かです。そこはご自分で調べてみてください。

だらだらと書きましたが、けして夢のみすぎなどではありませんよ。自分を高めてみたいというお気持ちが本当ならば、今からでも間に合うはずです。もちろん確信はできませんが……。あと、春から所属するであろう卒研の研究室の先生には、前もって話しておくことをおすすめします。

では、少しでも参考になれば幸いです。

＞大学であまり勉強してこなかったのに、他大学大学院進学は夢をみすぎですか？

大学４回生の春からの勉強…というのが少しネックではありますが，大学院入試は大学入試とは別物なので（大学は“落とす為”の入試ですが，大学院入試は“最低限これだけは理解しておいてね”という入試です），努力次第で何とかなる…かもしれません．
あくまで頑張りと効率，それに伴う成果次第ではありますが，個人的には決して夢物語ではないと思います．

＞公立の大学の大学院ならみんな真面目な人ばかりで自分も高められるのではないのか

この点についてですが，“大学院”という単位よりも“研究室”という単位で考えた方が良いと思います．
確かに国公立大学院は研究室も大きく，真面目な学生が多いと思いますが，それはあくまで“傾向”であり，研究室はピンからキリまであるケースが殆どかと思います．
加えて，その大学院における人気研究室は内部進学生で枠が埋まってしまっているケースが殆どだと耳にしているので，研究室選びの際は注意して下さい．