博士号を何個持ってるというのは、その回数、院卒？

〉博士って大学院を卒業した人がもらえる学位ですよね？

いいえ。
博士課程を終了しても博士がもらえるわけではありません。
博士を取るための課程ですが、与えられるわけではないんです。

ちなみに、さかなクンは、大学にも大学院にも行っていませんが、博士を持っています。
（行っているという意味だと、講師としては大学や大学院に行っていますが、ここでは学生という意味で。。。）

補足。
＞3つ持ってるなら9年ですよね

私の前2の回答のとおり，大学院に通う必要はありませんから，9年という計算は成立しません。むしろ，「課程博士になるために必要な既刊の学術論文数（２～３本）よりも，論文博士になるほうがずっと多い」ので，９年以上かかります（笑）。

すでに理学博士号をもっているのに農学博士号もほしいということがあるとすれば，こういう特殊な場合でしょう。
１．理学博士号を得たものの，就職先が農学部しかみつからなかった
２．農学部に20年勤め，農学系の業績も積んだ
３．そろそろ教授になりたいが，農学博士でないと受けがわるい（笑）

博士号を３つ持っているという事例は知りませんが，あるとすれば一種の「収集癖」でしょう。この場合でも，３つめの博士号は定年退職後に一念発起して勉強し，臨終寸前のベッドにやっと届いた（笑）。

そうですねぇ，実際博士をもっている人間からすると，複数取る意味ある？
と思ってしまうのが実際のところなんです。
博士号ってのは運転免許証と一緒なのですよ。みんなに認められて運転して，身分の証明にもなる。それが免許ですよね。研究者しての免許は学位となります。
大学院生でも，また学位をもってなくても研究はできますが，その分野で認められるためには，その免許証が普通は必要だって事です。
一般の人が自動車を運転したくて，バイクから特殊云々といったすべての免許を取らなくても良いじゃ無いですか。その免許を取るための時間，好きな車を普通に運転した方がよくない？？って思う訳です。
一方，自分の生きて行くために何らかの事情でバスを運転できる免許が必要となれば取りますよね。例えば，弁護士だったのだけど，どうしても人を救う仕事がしたくなって医師免許を取って，また法律的なことを意見するためには医学博士も必要となったということで，両方取ることはありますが，それは必要性があるからこそ。賢いことを誇示したくて取るのは時間の無駄にも思えてしまうわけです。それなら最初に取りたかった学位で世界を席巻してみろってことですよね。

博士はそれぞれの大学院の規定によっていろいろですが，3年間通うことが大事なのでは無く，その分野で認められた成果，簡単に言えば論文を出すことが大事になります。最近は敬遠されつつありますが論博といって論文博士なども企業につとめながら，その企業での研究をまとめて共同研究先の大学院で学位をとるなんてことも，まだ企業と大学に余裕があったときには頻繁に行われていました。
バカな政府が大学の法人化をすすめてからはそんな余裕すら無くなってきていますが。

つまりアニメっぽいですが天才なら，短期間でその分野での画期的な論文を数本仕上げて博士を取得して，飽きたから次の分野へってことはあり得ない話ではありませんが，逆に言えば人生設計を大きく判断ミスしており，またじっくりとその分野を成熟させ人材を教育し，その分野を進めていくという能力が無いわけで，アニメやドラマでの天才が本当に賢い人かというのは実際は疑問が残るところではあります。東大卒で複数の学位を持っている人も，友人にいますが彼らは自分の能力を最先端に活かすことができない人が多いのです。
決められたことを一番に性格に達成することは飛び抜けて上手いのですが，
その分野の先端に来たときに一歩を踏み出すことに躊躇する人がいます。
学位という目標を達成したら，次の学位が欲しくなってしまうのです。
確かに彼らは天才ですが，ある意味人生の中では不幸な面をもっていますね。

まとめると
一般に時間的に同時進行は難しいですが，通うことが大事なのでは無く，その能力が必要なので，短時間に複数を取得することは可能です。複数持っている人が複数の仕事をでき，それが幸せかどうかははなはだ疑問で，私の友人ではそれで人生を苦労している人がいますので正直お勧めはできない。
というのは個人的な感想です。

現実世界の制度で言えば、博士課程を卒業する事で得られる課程博士の他に、大学に論文を提出して認定される論文博士と言うモノもありますし、正式な学位では無いけど名誉博士と呼ばれる大学独自の判断で贈られるモノもあります。

なので必ずしも大学院に通う必要はありません。