亡くなった母の年金について

＞　母は結婚までは会社勤めをしていました。 昭和20年頃～30年代
＞　よって 年金受給資格はあると思いますが、受給してませんでした。

会社勤めで、厚生年金に加入いたかどうかですね。

もし、厚生年金に加入していたとしても、退職時に厚生年金の手続きをどうしたかです。
つまり、当時は退職した時、厚生年金の脱退一時金として、年金原資相当分の金額を全部もらってしまうと、国民年金と厚生年金の支給資格が有りませんし、年金番号もありません。
または、当時は退職した時、厚生年金の脱退一時金を貰わずに、将来の年金原資として手続きしてあれば、会社員時代の年数分の厚生年金（国民基礎年金＋厚生年金の２種類）が支給されます。（この手続きをしてあれば、日本年金機構に「国民年金番号」、「厚生年金番号」のどちらかの番号があるでしょう

その後、お母さんが結婚後の昭和61年（1986年）4月までは、国民基礎年金を「任意加入」をどうしたかです。
（１）　国民基礎年金の「任意加入」をして、掛け金を納付していれば、「国民年金番号」があるはずです。
（２）　国民基礎年金の「任意加入」をしていないいし、会社員退職時に年金原資を一時金でもらっているなら、引き続いて年金番号も無いでしょう。
（３）　また、昭和61年（1986年）4月からは、お父さんが公務員なので「共済年金」なので、専業主婦のお母さんを「３号被保険者」に出来たはずです。「３号被保険者」は、年金の掛け金を納付しなくても「国民基礎年金」の加入者と見なされて、掛け金を納付しなくても、国民基礎年金の支給されます。（「厚生年金」でも、収入の無い配偶者は「３号被保険者」に出来る）
★　昭和61年（1986年）4月から（但し学生は除く：学生は平成3年4月から）上記以降は、何らかの年金に加入せずに保険料を納付していないと、未納扱いになります。


＞　また、年金関連の書類が一切無く 基礎年金番号も保有していたか不明です。

上記の（１）～（３）の年金の手続きを、どこかでされていれば、「年金番号」が付与されるはずだし、年金の掛け金が未納だと分かるはずです。
年金番号があれば、毎年の誕生月に「ねんきん定期便」が来るはずです。
毎年の誕生月にねんきん定期便が来ないなら、年金番号が無い、年金番号が有っても届けの住所が違う等も考えられます。

そして、年金番号が有り、住所も正確に届けてあるなら、誰でも、満６０歳の誕生月にＡ４の封筒で「年金手続関係」の書類が何枚も来ます。
この書類は、夫婦両方の戸籍謄本・住民票の写し、年金振込み用の金融機関の口座証明、夫婦両方の年金番号の記入、等々、年金の手続上、重要な個人情報等を記入が必要です。


◎　他の回答にもありますが、まずは、お母さんの年金記録の確認をしましょう。
http://www.nenkin.go.jp/n/www/service/detail.jsp?id=26045

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お父さんは公務員なので、お父さんの年金の問い合わせ先は、所属の共済年金組合です。（共済年金のことを、日本年金気候に聞いても分かりません）

そして、今年の秋、「現役の公務員」の共済年金は、厚生年金へ移行／統一されますので、お父さんの共済年金組合に聞く場合、もしかして移行／統一の作業で忙しくて、すぐに返事が無いかもしれません。
（退職して共済年金を需給中の人は、厚生年金とはならずに、共済年金組合のままらしいです）