親を扶養から外すタイミングでベストな時期は？

所得税で扶養控除を取るかどうかは、その年の税額決定のタイミングで扶養控除等（異動）申告書もしくは確定申告書に親御さんの名前を記載するかどうかで決まりますので、月日単位の「切り替え時期」というものはありません。

住民税で扶養控除を取るかどうかは、今年分の所得税の申告（年末調整もしくは確定申告）に連動し、来年6月からの税額に反映されます。

「税法上」ということですから、所得税・住民税の扶養控除のことでいいでしょうか。
そうであれば、「扶養を外す」「切り替え時期」とは、どういう手続きをされるのでしょうか。

そもそも、どういった理由で扶養を外されるのかわかりませんが、通常は12月31日現在のその親の状況で、扶養控除を申告できる、できないの判断をします。
https://www.nta.go.jp/taxanswer/shotoku/1180.htm

そして、親の扶養控除を申告できない（したくない）のであれば、給与所得者の場合「給与所得者の扶養控除等（異動）申告書」に記載をしなければそれでOKです。確定申告者であれば、同様に扶養控除の申告をしなければOKです。

住民税についても、年末調整あるいは確定申告をすれば連動しますので同様です。
したがって、最適な「切り替え時期」というものは特に存在しません。

しいてあげれば、給与所得者であれば、「給与所得者の扶養控除等（異動）申告書」に年頭時点で扶養者から外しておけば、その分の毎月の源泉徴収税額が多くなります（＝給与の支給額が減ります）。一方、年末調整時に扶養を外すと、その時点で一気にその分の税金が追徴されることくらいの違いでしょうか。最終的に支払う所得税・住民税の額は同じです。