対物事故をおこしてしまいました

わざとやったわけじゃあるまいし、必要以上の罪悪感を持ったり、保険会社に任せず勝手に連絡を取って変な約束をしたりしないようにしましょう。

右直事故なのでたぶんあなたがかなり悪いですが、相手にも相応の注意義務や回避義務（急ブレーキ等）はあったのですから。

どうする必要もありません。保険会社に任せてあなたは直接の連絡をなるべく控えましょう。
日本の法令や過去の裁判例では、モノを壊して賠償するときは時価が上限となっており、保険会社の対応もこれに倣っています（時価超過修理特約がついている場合は特約で対応するけど）。
相手がどうしてもその提示内容に納得がいかなくても、裁判して勝たない限り、あなたの保険会社からはそれ以上のものは引き出せません。あなたが自腹を切って払う謂われがないものを払いたいというならば、止めはしませんが。

なお、相手が診断書を警察に出して人身事故にした場合は、しかるべき取り調べの後に行政処分（違反点数の加算、反則金）と刑事処分（この事故内容だと罰金刑がいいところかな）が課されるでしょう。