住民税が値上がり

この時期に住民税が増えることは普通ありません。

考えられるのはダブルワークの申告が適切になされていなかったためそれが訂正された可能性です。

役所からの決定通知書はありませんでしたか？これを6月と今回とで見比べればわかるかもしれません。

まず,昨年6月の納税通知書(ご存知のように市町村から来るものです)をチェックしましょう
月割の金額が記載されています

このタイミングで上がることは無い
上がるとすればあなたの会社固有の問題
ここで聞いても分からない

失礼ながら、その通知が本当に住民税に関するものなのかどうか、極めて疑わしいです。
住民税ではなく所得税のことだと考えるのが一番すっきりします。
昨年の年末調整の際、その職場に平成30年分（つまり、年末調整時点では来年分）の「扶養控除等（異動）申告書」の提出をされなかったのではないでしょうか。
その場合、本年1月1日以降支給される給与の源泉徴収税額が「乙欄」で計算されるので、そのような増額も考えられます。

毎月の源泉徴収税額は、扶養控除等（異動）申告書で申告した扶養親族等（控除対象配偶者＋その他の扶養親族）の人数とその月の給与支給額を参照して、以下の源泉徴収税額表から決定されます。

平成30年分　源泉徴収税額表｜パンフレット・手引き｜国税庁
http://www.nta.go.jp/shiraberu/ippanjoho/pamph/gensen/zeigakuhyo2017/01.htm

たとえば、一昨年の年末調整時に提出した平成29年分の扶養控除等（異動）申告書における扶養親族等が2人で、平成29年12月支給の給与が約17万円なら、源泉徴収税額は530円。
扶養控除等（異動）申告書の提出がない場合、平成30年1月支給の給与が約18万円で源泉徴収税額が14,600円です。

ちなみに、12月支給の給与の源泉徴収税額は年末調整による所得税の還付との調整があっていつもの額と違う場合があるので、11月以前の明細で確認したほうがよいです。