年金手帳の住所変更について

結論から先に言いますと、住所変更手続は不要です。
年金手帳に住所記載欄がある場合（年金手帳の様式が変遷しているため）にも、その欄への記入は必須ではありません［現在、単なるメモ欄といった位置づけでしかなくなっています。自己記入する欄です。］。

住所に関しては、年金手帳ではなく、基礎年金番号で管理されています。
一個人あたり、一生涯にたった１つだけの番号を持つのが原則です。
何らかの事情で基礎年金番号が複数発行されている場合（このとき、年金手帳も複数発行されている場合が多々あります）には、基礎年金番号も年金手帳も１つに統合する手続が別途必要です。

国民年金に加入している人（国民年金被保険者という）の住所異動に関しては、現在、マイナンバーによって住民票の異動（世帯構成の変化や転居など）と紐付けられていて、かつ、マイナンバーと基礎年金番号が紐付けられてもいるために、原則、自動処理されます。
したがって、基礎年金番号さえあれば、原則、住所変更の手続は不要です。

厚生年金保険や健康保険（国民健康保険とは違います。健康保険とは組合健保や協会けんぽのことをいいます）に加入（親などの健康保険で扶養される場合を含む）に加入したときには、厚生年金保険や健康保険への加入と同時に住所を届け出ることになりますが、このときも基礎年金番号と紐付けられているので、基本的には、国民年金に加入している人と同じことになります。
ただし、厚生年金保険や健康保険に加入している人の場合の住所変更は、変更の都度、職場を通じて行なう必要があります。

就職時には、厚生年金保険や健康保険への加入のために基礎年金番号を職場に知らせる必要があるため、基礎年金番号が記されている年金手帳の提出を求められます。
ただし、基礎年金番号を伝える、ということが本来の主旨なので、必ずしも年金手帳でなくともかまわず、基礎年金番号を記したメモ書きでもＯＫです。
要は、現在、年金手帳は重みを持たないものになっており、実際、制度変更か廃止の動きが出ています（法案提出を準備しているところで、廃止等の方向性は既に出ています。）。

少々ややこしかったかとは思いますが、住所変更の手続等は原則として不要ですし、また、年金手帳をそのまま所持・使用していただいてかまいません。
それよりも、基礎年金番号の数値をしっかりと確認してどこかへ控えておく、ということこそが非常に大事です。

その他不明な点があれば、ネットでたずねるのではなく、必ず、年金事務所か、お住まいの市区町村の国民年金担当課に問い合わせて下さい。
ネットの情報は、誤りがあったり、情報が古かったりすることも多いからです。
気をつけて下さいね。