公務員（嫁）の育休中の配偶者控除について。

＞年末調整で令和５年分と令和６年分の扶養控除等申請書を提出する際、令和６年分の配偶者控除の欄に嫁を追加しようと思うのですが、一応嫁の職場に確認したら、「育休手当が出ているので駄目です。」と言われたみたいです。

奥様の職場で社会保険、厚生年金を支払っているのではありませんか？
そうすると、税金上の配偶者控除は出来ても
社会保険の扶養には入れません。

会社によっては、社会保険上の扶養と税法上の扶養を別々に処理するのは煩雑なので出来ない、しない場合があります。

また、社会保険、税法上のどちらも扶養の場合のみ
家族手当を支給する会社が多いです。
私の勤め先は、扶養限度額を超えると家族手当を返金しないといけなくなります。給与の家族手当に配偶者の収入額・扶養かどうかには法律的には、制限はありません。

上記の理由によってお勤めの会社のルールでは出来ないとの返答になったのではないでしょうか

配偶者控除や配偶者特別控除の対象になるかどうかは，最終的には12月31日までの所得で判断しますが，令和6年分の扶養控除等申告書では令和6年所得の見積もり額を使って判断します。
育児休業給付金は非課税ですから，それ以外に所得がなさそうなら，申告書に配偶者の名前を書けばよろしい。年の途中で状況が変われば，訂正することも可能です。
令和5年分の所得が少なければ，令和5年分の方にも記載してください。年間の合計所得金額が48万円超133万円以下(給与収入しかなければ103万円超201万円6000円未満)であれば配偶者特別控除が受けられます。

扶養でも税務上と社会保険上の扶養があります。
社会保険上は無理ですが、税務上の扶養に入れることが可能となります。ご質問者様のおっしゃる通り、育休手当は「非課税」ですのでご安心ください。
1月～12月の年収が150万未満であれば控除対象配偶者として入れることができます。
150万～201万であれば段階的に減っていく配偶者特別控除が受けられます。

今回ご質問されているのは年末調整のことですので税務上の扶養となります。よって入れることが可能ですので追加しても問題ありません。

あまりしつこく突っかかって角が立ち、面倒になるようでしたら、確定申告でしれっと追加することもOKですのでそういったご検討もされるのも一案です。