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真円度の計測方法と最小二乗中心法について
2023/10/14 12:30
- 真円度を計測する方法には複数ありますが、最小二乗（平均？）中心法という方法についてわかりづらい部分があります。
- JIS機械計測B7451-1997によれば、真円度の計測における距離a,bは次の近似式で求められます：a=2Σx/n, b=2Σy/n。
- しかし、なぜΣx/nなどが2倍されるのか疑問です。最小二乗法を利用して円の中心を算出する際、中心の座標を(a,b)とし、半径rの円の方程式を表すと、f=Σ｛(x-xi)^2+(y-yi)^2-r^2｝を最小にする(Xa,Yb)を求めれば良いと考えられます。
真円度の計測、(a=2Σx/n, b=2Σy/n…
2005/05/15 16:12
真円度の計測、(a=2Σx/n, b=2Σy/n)は何故？
真円度を計測する場合、方法が何種類かあるようですが、
そのなかで、最小二乗（平均？）中心法という方法について
わからない部分があります。
実際の計測ではなく、その基礎となる数学的な部分で
恐縮ですが、どなたかご教授願えれば幸いです。
不明な部分は以下のとおりです、JIS 機械計測 B7451-1997の
574頁に次のように記載されております。
｢・・・記録紙中心から最小二乗中心までの距離a,bは、次の近似式で
求められる。
a=2Σx/n
b=2Σy/n ・・・｣この式のうち、何故Σx/n等が2倍されるのでしょうか？
いきなり途中から式が出現してわかりづらいと思いますが、最小二乗法を利用して円の中心を算出した結果が上記のa,bになると言っているのではないかと思い、
中心の座標を(a,b)とし、半径rの円の方程式は(x-a)^2+(y-b)^2-r^2=0
と表されますから、f=Σ｛(x-xi)^2+(y-yi)^2-r^2｝を最小にする(Xa,Yb)
を求めればいいと考え、fをx,yで偏微分し、∂f/∂x=0,∂f/∂y=0より
Xa=Σxi/n, Yb=Σyi/nを得ます。ところが、
前記のとおり、JISではこの値を2倍しています。
どこかに勘違いがあると思われます。基本の基本部分で
お恥ずかしいですが、よろしくお願い致します。
回答 （9件中 1～5件目)
内接円との差と外接円との差を加算したものが最小となる場合と考えれば
良いのではないでしょうか。
そうすれば、質問内容にある方程式が
f=Σ｛(x-xi)^2+(y-yi)^2-R^2｝+Σ｛(x-xi)^2+(y-yi)^2-r^2｝
（最小二乗外接円の半径；R、最小二乗内接円の半径；r）となり、
a=(2Σx)/nおよび b=(2Σy)/nが導かれることになります。
補足
2005/06/07 15:57
↑の御礼の記載の一部を訂正します。
｢したがって、?式は言い換えれば、
最小二乗円の中心(a,b)から内接円までの距離の二乗和と
前記(a,b)から外接円までの距離の二乗和の両方の全総和を表しているため、｣
を以下のように訂正
｢したがって、?式は言い換えれば、
最小二乗円の中心(a,b)から内接円までの距離の二乗和と
前記(a,b)から外接円までの距離の二乗和及び
全計測点からこれらの点を除いた残りの点と前記(a,b)との
距離の二乗和の全総和を表しているため、｣
に訂正。
※以上のようなわけですので、?は≪＃９様≫が意図している
内接円、外接円のみでの演算ではありませんが、
結果はa=Σxi/nになり問題はないと思います。
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この質問は投稿から一年以上経過しています。
解決しない場合、新しい質問の投稿をおすすめします。
K1 様
ご説明有難うございました。確かにJISの規定が変わっています。
このような重要な変化が当方周辺に、周知徹底されなかったことに
驚いています。
もしかしたら質問者様の
＞不明な部分は以下のとおりです、JIS 機械計測 B7451-1997の
574頁に次のように記載されております。
｢・・・記録紙中心から最小二乗中心までの距離a,bは、次の近似式で
求められる。
a=2Σx/n
b=2Σy/n ・・・｣この式のうち、何故Σx/n等が2倍されるのでしょうか？
この部分の記載が、JIS規定の変化に対応していないのかもしれませんね。
【m-sudo様へ】
旧JISですね。（真円度測定器が普及していなかった頃は、マイクロメータ
で直径の偏差を測定するしかなっかたためかな？。）現在でも、このように
簡易的に真円度として測定、評価されている場合も確かにありますね。
現在では、外接円と内接円の半径の差を真円度と定義されています。
【ナナのパパ様へ】
さて、この外接円と内接円の中心をどのように求めるかです。
この外接円と内接円で挟まれる間隔（領域）が最小となる場合ですが、
ここに最小二乗法を適用すると、計算式はどうなるのでしょうか？
お礼
2005/06/04 00:34
御礼が遅れまして申しわけございません。
≪K1さま≫
頭が混乱してきましたので整理しますと、
まず、真円度測定において、
最小二乗平均円？中心法(LSC)における真円度とは、
『記録紙の中央を原点として、測定物の輪郭を計測、その計測値を
演算処理(最小二乗法）して最小二乗円の中心Ｐcを求め、
このＰcから同心円を描き、
測定物の内接円（複数存在するであろう）のうち最小となるＣmin(半径値)と
同様に外接円のうち最大となるＣmax(半径値)の差を?rとした、この?rのことをいうこと、
又、前記測定に係る各計測点は記録紙の中央を原点（中心）に等角度・偶数本の放射線を描き、
当該輪郭と放射線との各交点とする』、と理解しております。
このことは、例えば桑田浩志著『新しい幾何公差方式』
/（財）日本規格協会発行のp131及びJIS B7451の記載等から自分なりに
理解できたと思ったのですが、問題のa=2Σx/n・・・についての説明は一切無く理解できませんでした。
今回の質問投稿の出発点はここにあります。
さて、内接円と外接円に挟まれる領域に最小ニ乗法を適用・・・、
というのは同じところにいきつくような感じもしますが、最初に計測点から最小二乗円の中心Ｐcを演算で求めるところ、
この逆から解を求めるイメージでしょうか？ 私の能力ですとこちらからはたどり着けないようです。
ところで、私の誤解のもとは、（上記内容を承知で）最小二乗法だから、測定物の輪郭の測定点はどこにとっても（ある程度左右対称になっていれば）大きな誤差はなく、円の中心(a,b)の算出が可能と考えた部分にあると思っています（ご指摘にもありました）。以下それを示します。
作図で再確認しようとしたのですが、各交点をanalsisで求め、それを電卓で計算していくとたいへんです。
catia本体のプログラムにそのような計算手順をうずめ込むことも可能なのでしょうが、まず、ランダムに線を引いて確認していくこと自体、普段使用していない者にとっては苦痛です。
そこで、
円の方程式 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 ---? と
直線の方程式 y=c*x+d ---?の交点を求め、
各交点座標からΣx/n,Σy/nを直接計算してa=2Σx/n等が正しいのかどうかプログラムを組んで確認してみました。
一般式で証明する前に、?、?の定数をいろいろ変化させ、得られた座標とΣx/n等の関係を考察しようとしたわけです。
ここに、?におけるcの値は直線の傾き、JISのとおり、水平から反時計方向に30度間隔で水平も含めて６本引きます。つまり、c=0,tan30,tan60,x=x0←垂直線の意味,tan120,...
計算結果は省略しますが、得られた数値は直感的にみて偶数本等間隔で放射線を引いたため、数値同士で相殺する関係になっていることがわかりました。これは、一般式でも絶対に証明できると確信いたしました。但し、当面最小二乗法とのかかわりは不明のままです。
一般式での証明は以下のとおり、といっても強引に計算しただけです。もっとエレガントな解があるはずです...
１．ＪＩＳを無視しますが、最小二乗円の中心から放射線を引いた場合の
円の中心座標はa=Σx/n か又は 2Σx/nが正しいか？（y座標は省略）
測定にかかる円の中心座標を(a,b)とし当該中心から上記のとおり、放射線を６本引きます。
放射線と円との交点のx座標は、水平線正方向（時計の３時方向）の交点をx1,反時計方向に30度傾斜した交点をx2,以下x3からx12まで得られる。
ここで、x1=x4+r ← x4は(a,b)に立てた垂直線Ｖ0に該当、rは半径。
x7=x4-r
x2=x4+L2 ← L2はＶ0とx2との距離。
x6=x4-L2
x3=x4+L3 ← L3はＶ0とx3との距離。
x5=x4-L3
x4=x4
x10=x4
x8=x4-L2 ← L2はＶ0とx2(=x8)との距離。
x12=x4+L2
x9=x4-L3 ← L3はＶ0とx3(=x9)との距離。
x11=x4+L3
上記１２の式の左辺を加算するとΣx,一方右辺を加算すると12*x4ここにx4はaそのものだから
結局Σx=12*a したがって、a=Σx/12これはまさにa=Σx/nに相当するということである。
よって、ＪＩＳの手順を無視して、最小二乗円に放射線を引くとその中心はa=Σx/nになるのことが証明できたことになる。パソコンの数値計算も同じ結果となる。
２．ＪＩＳの手順どおりの場合
前記?と?の交点は２次方程式の根の公式により、
x=(a+b*c±sqrt((a+b*c)^2-(1+c*c)(a*a+b*b-r*r))) /(1+c*c)---? (原点放射のためd=0)
sqrtの部分をfとおくと、
x=(a+b*c±f)/(1+c*c)---? fは相殺されるため深く考えない。
そうすると、
x1=a+sqrt(r*r-b*b) ⇒水平線との交点です（３時方向）
x7=a-sqrt(r*r-b*b) ⇒水平線との交点です（９時方向）
x4=0 ⇒ 垂直線つまりy軸との交点です
x10=0 ⇒ 垂直線つまりy軸との交点です
x2=(a+b*c2+f2)/(1+c2*c2) ⇒３０度傾斜
=(a+b*c2+f2)*0.75
x8=(a+b*c2-f2)*0.75 ⇒ x2とは１８０度反対側の交点
というのは、c2はtan(30度)のため、
1+c2*c2=1+(tan(30度))^2
=1/(cos(30度))^2
=1/0.75となるためである。直接代入してもまた同じ。
同様に、
x3=(a+b*c3+f3)*(cos60)^2 ここにc3=tan60
x9=(a+b*c3-f3)*(cos60)^2
x5=(a+b*c5+f5)*(cos120)^2 ここにc5=tan120
x11=(a+b*c5-f5)*(cos120)^2
x6=(a+b*c6+f6)*(cos150)^2 ここにc6=tan150
x12=(a+b*c6-f6)*(cos150)^2
------------------------------各交点はここ↑まで
x1+x7+x4+x10=2*a
x2+x8=1.5*a+(b*sqrt(3))/2
x3+x9=0.5*a+(b*sqrt(3))/2
x5+x11=0.5*a-(b*sqrt(3))/2
x6+x12=1.5*a-(b*sqrt(3))/2
左辺の合計はΣxです。 右辺の合計は6*aになります。
つまり、Σx=6*aです。 相殺されて半分の値になってしまうため
中心座標はΣxを２倍すると、2*Σx/nとなって一致します(ここではn=12)。
このように、Σxを２倍しないと一致しないのは上の理由によるものであることが一般的に証明できたことになる。yについても同様です。
したがって、誤差の許容範囲を２倍にするとか、そちらの理由ではなく、
真円度の定義というより、測定手順に従い、純粋に数学的な理由で
(2Σx/n,2Σy/n)が導かれたものと判断しております。
しかし、いまだ最小二乗法とのからみについては謎のままです。
《k1さま》,《m-sudoさま》いろいろアドバイスいただきまして感謝しております。
《k1さま》の作図をした、が直接のヒントになったと思っています。
上の証明方法で間違い等ございましたら、ご指摘願えれば幸いに存じます。又、最小二乗法とどこでつながっているのか等、判明しましたら、
又お知らせ頂ければと思います。
それでは、失礼致します。
補足
2005/06/04 19:12
↑の補足・訂正です。
↑の『このように、Σxを２倍しないと一致しないのは上の理由によるものであることが一般的に証明できたことになる。』を
『このように、Σxを２倍しないと一致しないのは、相殺効果によるものと思われます。』に訂正。
尚、今回の計算はいわば基準円？を想定し、その円に対して方程式をたてていますが、基準円上に存在する各Ｘ座標つまり、xsiに対してxi=xsi+εiとおいて、基準円からずれた場合も同様な計算をすれば、
a=2*(Σxi/n)+δ（δはΣεiに依存）となり、極端な形状以外では、δが小さいため、aの座標は結果的に 2*(Σxi/n)の基本式に支配されることがわかります。
実際、円周近傍に点をずらして計算しても、ほぼ2*(Σxi/n)に近い値が得られるのだと思います。
ここに、xiは実際の計測にかかる計測値、xsiは基準円と各放射線との交点のＸ座標、εiは基準円からのずれで正負の符号をもつとする。
#4 様
下記ご確認いただけますでしょうか。誤解があるようです。
参考URLを記します。
ここの（３／４）。
http://www.toyoshaft.co.jp/pdf/shaftsetumei.pdf
＞また、真円度の定義そのもには、関係ないと思います。
＞（理由；幾何公差で、φ記号のつくものは直径で考えるため×2するが
＞ 真円度には、φ記号はつかないため。真円度は、半径法です。）
#4 様
下記ご確認いただけますでしょうか。誤解があるようです。
参考URLを記します。
ここの（３／４）。
http://www.toyoshaft.co.jp/pdf/shaftsetumei.pdf
＞また、真円度の定義そのもには、関係ないと思います。
＞（理由；幾何公差で、φ記号のつくものは直径で考えるため×2するが
＞ 真円度には、φ記号はつかないため。真円度は、半径法です。）
お礼
2005/06/07 11:59
お忙しい中、いつもご回答ありがとうございます。
私自身、最小二乗法をよく理解しておらず恐縮ですが、
ご提示された、
f=Σ｛(x-xi)^2+(y-yi)^2-R^2｝+Σ｛(x-xi)^2+(y-yi)^2-r^2｝---?
からa=(2Σx)/n---?をどのように導くのでしょうか？ 理解できませんでした。
又、?式で複数の内接円の中心Ｐmと外接円の中心Ｑmは同一点ではない
として、計算しているのでしょうか？
?式のままで共通項をまとめると、
f=2Σ｛(x-xi)^2+(y-yi)^2}-n*(R^2+r^2)---?
となり、偏微分することを考慮すると、私が最初に
質問投稿したときの式と結果は同じになります。
a=(2Σx)/n 等はでてこないと思います。
変数、定数、suffixに意図されていることと違っている個所は
ありませんでしょうか？
尚、求めたいのは、最小二乗円の中心(a,b)ですから、
当該中心から計測物の計測点(xi,yi)までの距離は
sqrt((xi-a)^2+(yi-b)^2)です。
この二乗の総和つまり、
Σ{(xi-a)^2+(yi-b)^2}---?
の値が最小となるようにすれば、
そのときのa,bが最小二乗円の中心となるわけです。
結果はa=(Σxi/n)等になります。（２倍はしない）
さて、ここで注意すべきは、?式における(xi,yi)等は
内接円における(xi,yi)も、外接円における(xi,yi)も含んでいる
ということです。
したがって、?式は言い換えれば、
最小二乗円の中心(a,b)から内接円までの距離の二乗和と
前記(a,b)から外接円までの距離の二乗和の両方の全総和を表しているため、
結果（偏微分後）においては?と等価と判断しています。
一方、ＪＩＳの附属書２図１６の手順Ａで計算していくと、
確かに、a=2*(Σxi/n)等になります（手順Ａからは先日証明済み）。
この手順Ａから求めた(a,b)と、手順Ａを無視して、別途、上記?から求めた
(a',b')は測定物からみればほぼ同じ位置にならなければ変です。
つまり、?の最小二乗法から得られるa'=Σxj/mと
ＪＩＳ手順Ａから得られるa=2*(Σxi/n)は測定物に
印をつけるとほぼ同じ点になるわけだから、
そういった意味合い（最小二乗法による中心と同じになるという意味）から、
ＪＩＳ手順Ａは最小二乗平均中心法と称呼されているのだと思います。
ここに、Σxj/mは、点xjと点xi が異なった点列系であること、
測定点の数mとnも違うことを明示的に示した。