5次曲線（カム曲線）とは？

単純に、Sに対応するtを求めたいということであれば、
皆さんのおっしゃるように数値解法です。
エクセルのソルバー機能(アドイン機能で選択必要)を使ったらどうでしょうか？
提示の式をエクセルに入力して、
たとえばS=0.2を目標値(指定値)として、tを演算します。
t=0.24268と一発で計算してくれます。
数値解法もオプション選択できます。

ちなみに、6*t^5-15*t^4+10*t^3=0は3重解しか実数解を持たないので、
Sが与えられた場合でも、tは実数解を持つと考えます。

回答(2)に追記します。提示の計算では0を受け付けないようです。
解析精度が表示されますので，その値以下たとえば1E-10程度の
値をｔの二次および一次の係数に代入してください。
解が表示されるはずです。

ニュートン法他の解き方があります。添付URLで代入計算してみてください。

一般解は得られないかもしれないので，数値解法です。

一般解は１つの実数と４つの複素数になると思いますが、実用上の近似解を求めることはエクセルを使えば簡単に出来ます。

１行目をt、２行目をＳとします
ｔの項目に上から0.1、0.2というように順に増加させます。
Ｓの項目には計算式　6*t^5-15*t^4+10*t^3を入れそのまま下にコピーします。

Ｓの値の目安が出ますので、そこでｔの刻みを小さくします。
これを繰り返せばそこそこの精度になります。

下記によると5次関数の一般解は無いようです。