材料強度

Question

以下2つの相談があり、解れば教えて欲しいのですが
1.φ２で、高さが４mmのピンを金属に彫刻したもの。
（硬度：ＨＲＣ６０前後）（材質：ＳＫＤ焼き入れ後）

どこのくらいの力が横から加えられると折れてしまいますか？力はピン先端にかかると仮定してもらって構いません。

2.硬度や材質が同じAとBの2本のピンがあったとして
  Aは高さ２mmφ２、Bはピン高さがAの2倍４?になっているとします。

ＡとＢは同じ力の強さで折れるとしたらBは何φのピンになりますか？
　何mm2でなければいけないのでしょうか。
  ピンの高さとピンのφ（面積）の関係はどのようになるのでしょうか？

Answer

同じ力で折れるから材料強度に関係無く、同じ荷重同じ材質であれば・・・
L0/d0^3=L1/d1^3の関係になるかと思います（最大応力σが等しいとして）
従ってL0=2、d0=2、L1=4とすれば2/2＾3=4/d1^3→d1=16＾(1/3）≒2.52となる
これは↓「後の先、アフターユー」さんの回答と同じだから合っているかと
曲げの最大応力の地点は、せん断力はゼロになる筈なので私も無視しました

Answer

先ず、１.に関してですが、
材料の強度は、『引張り』『圧縮』『曲げ』『せん断』『ねじり』の５種類に別れます。
そして、今回の内容は『曲げ』強度です。
今回の曲げ強度は、硬度；HRC60前後から“硬度換算表”に掲載が無いので、簡易的に算出
できませんが、HRC55（引張強さ表示硬度）の10％～12％ダウンのHRC49～48硬度ので強度で
算出します。（本来は、SKD**の焼き入れ硬度と引張強さの表で引張強さを確認します）
HRC48 ⇒ 引張強さ167kgf/mm^2です。曲げ強度は、引張りと圧縮の合成強度であり、
引張り強度＝圧縮強度が今回の材料特性なので、曲げ強度も167kgf/mm^2となります。
さて、φ2mmで高さ4mmの彫刻をしたピンは、何所で保持されていますか？
下1mmで保持しているならモーメントは、力（kgf）×長さ（4mm－1mm＝3mm）となります。
が、保持部の反力が梃の原理（今回はシーソーの形で）3倍力が加わり、そこが変形します。
ですから、保持部も同等のSKD材を使用して焼き入れし、下2mmで保持するが適当な条件です。
それなら、モーメントは力（kgf）×長さ（4mm－2mm＝2mm）で、断面係数はπ/32×（2mm）^3
で、曲げ強度が167kgf/mm^2の片持ち梁計算となります。
計算処理は、167kgf/mm^2＝（力kgf×2mm）÷｛π/32×（2mm）^3｝となり、
力kgf＝167kgf/mm^2×｛π/32×（2mm）^3｝÷2mm＝65.58kgf＝642.7N
642.7Nを先端に掛けると折れる危険性がありますが結果です。
詳細には、先端に掛ける力の内容、例えば繰り返し何回もとか、その繰り返し荷重が正逆する
（交番荷重）とかでも異なります（許容荷重で確認が必要）し、彫刻が切欠き係数になるほど
なら折れ易くなります。

操作ミスとＰＣのバグで変な事になり、申し訳ない。

次に、２.に関してですが、
ピンと保持の材質と焼き入れ硬度は同じとしたら、保持代は1/2は必要です。
保持材質の硬度を下げたら1/2ではすまなくなるので考えないで下さい。
すると、力×長さのモーメントが2倍になりますから、断面係数も2倍にしなくてはいけません。
｛π/32×（2mm）^3｝＝0.7854の計算の2倍である0.7854×＝1.5708の断面係数は、
1.5708＝｛π/32×（φdmm）^3｝となり、φdmm＝2.52mmとなります。
結果は、2.52mmです。

このURLも確認下さい。
http://www.nmri.go.jp/eng/khirata/design/index_j.html
特に、この内容を順に　⇒　第2章 機械の強度と材料

内容が貴殿の思っている事と異なりますか？
それとも、記述内容が？？？かな？

Answer

先ず、１.に関してですが、
材料の強度は、『引張り』『圧縮』『曲げ』『せん断』『ねじり』の５種類に別れます。
そして、今回の内容は『曲げ』強度です。
今回の曲げ強度は、硬度；HRC60前後から“硬度換算表”に掲載が無いので、簡易的に算出
できませんが、HRC55（引張強さ表示硬度）の10％～12％ダウンのHRC49～48硬度ので強度で
算出します。（本来は、SKD**の焼き入れ硬度と引張強さの表で引張強さを確認します）
HRC48 ⇒ 引張強さ167kgf/mm^2です。曲げ強度は、引張りと圧縮の合成強度であり、
引張り強度＝圧縮強度が今回の材料特性なので、曲げ強度も167kgf/mm^2となります。
さて、φ2mmで高さ4mmの彫刻をしたピンは、何所で保持されていますか？
下1mmで保持しているならモーメントは、力（kgf）×長さ（4mm－1mm＝3mm）となります。
が、保持部の反力が梃の原理（今回はシーソーの形で）3倍力が加わり、そこが変形します。
ですから、保持部も同等のSKD材を使用して焼き入れし、下2mmで保持するが適当な条件です。
それなら、モーメントは力（kgf）×長さ（4mm－2mm＝2mm）で、断面係数はπ/32×（2mm）^3
で、曲げ強度が167kgf/mm^2の片持ち梁計算となります。
計算処理は、167kgf/mm^2＝（力kgf×2mm）÷｛π/32×（2mm）^3｝となり、
力kgf＝167kgf/mm^2×｛π/32×（2mm）^3｝÷2mm＝65.58kgf＝642.7N
642.7Nを先端に掛けると折れる危険性がありますが結果です。
詳細には、先端に掛ける力の内容、例えば繰り返し何回もとか、その繰り返し荷重が正逆する
（交番荷重）とかでも異なります（許容荷重で確認が必要）し、彫刻が切欠き係数になるほど
なら折れ易くなります。

Answer

ピンには曲げとせん断が加わります。曲げ応力σは
σ＝（荷重Ｐ×腕長さＬ）／断面係数Ｚ
せん断応力τは
τ＝荷重Ｐ／ピン断面積
で表されます。応力σとτを合成して相当せん断応力
τe＝√(σ^2＋τσ^2)　として
この値がＳＫＤ材料強度　180kgf／mm^2（下記参照)と比較して小さければ
折れないことになります。ただし衝撃を加える場合はこの分の加算が
必要です。

参考のため,せん断応力と曲げ応力の比を求めてみました。
τ/σ＝Z/(LA)＝(π×2^3/32)/(2×π×2^2/4)＝0.125
となります。12.5％が無視できるかは検討の精度によりますが。

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