圧縮荷重一定で被圧縮材の厚みと変形量の関係

Question

ある問合せを受けて回答に困っています。

丸棒試験片φ10*5?とφ10*10?の2つを同じ応力(MPa)で弾性変形させた
場合、各試験片の長さ(5?/10?）の変形量はどうなるのか？と言われ

私なりに考えてたのですが、何かしっくりこない結果で困惑しています。

イメージでは応力が同じなので、長さのある(≒厚みのある)10?の方が変形
量は少ない感じがしていました。それを計算で確認してみようとしたので
すが、以下の様になってしまいました。

F=荷重　S=丸棒断面積　σ=応力(700MPa)　E=ﾔﾝｸﾞ率(520,000MPa)
ε=歪(対数歪)　L0=被圧縮片の変形前長さ　L=被圧縮片の変形後長さ
LN=logE　
としました。

F/S=σ=E*ε--?　　
公称歪b=(L0-L)/L0　
対数歪ε=LN[1+(L0-L)/L0]--?
を使て計算しています。

?より　700=520,000*ε　ε=0.00135
?より　0.00135=LN[1+(L0-L)/L0]
        e^0.00135=1+(L0-L)/L0
　　　　左辺Lで整理
        L=L0-L0(e^0.00135 -1)
L0=5mm→L=4.993  ΔL=0.007
L0=10mm→L=9.986 ΔL=0.014

厚みを厚くする程、変形量が多くなるって何かおかしな気がするのですが。。。私の勘違いなのでしょうか？

設計計算にお詳しい方いましたら、ご指摘をお願い致します。

Answer

なんだか複雑な計算をしていますね。

材料が同じなのでヤング率Ｅは同じ。
応力σも同じ。
すると歪ε＝σ/Ｅも同じ。
ただし長さＬ＝５ｍｍと１０ｍｍ

すると変形量δ＝εＬ＝５ε、１０ε　（変形量は倍半分）
対数歪など何の関係もありません。

断面積Ａは同じなので力Ｆ＝σＡも同じ。
同一の長いゴムと短いゴムを同じ力で引っ張ったようなもので、
長いゴムの方がよく伸びる。圧縮にしても同じこと。

ただし、直径をｄ、ポアソン比μ（通常０．３）として圧縮の場合
長さは倍半分だけ短くなりますが両方の直径は同じだけ膨張します。
μεｄ＝0.3×0.00135×10ｍｍ≒４ミクロン。

このわずかな膨張がどのように影響するかは素人なのでわかりません。

Answer

厚みを厚くする程、変形量が多くなるって何かおかしな気がするのですが。。。私の勘違いなのでしょうか？

確かに、スポンジの上に乗っかるイメージでいくと、厚みを厚くする程、変形量が多くなるという結論でおかしくないですね。しかし、外形は拘束されている状態」という仮定が間違っているのでは？本当は、外径は拘束されてないんでしょ？リング状の金型が内圧を受けて膨らむのは、輪ゴムを内側から外に広げるような働きで、それならゴムを厚くすることで変形は小さくなります。ヤング率は、リングの厚さ方向に働くのではなく、円周方向に働くと考えた方が良いでしょう。（もちろん、本当は三次元的に考えないといけないけど）
　通常は、超鋼のインサート（ワークと直接接触する部分の金型）はダイス鋼ＳＫＤ６１や構造用鋼ＳＣＭ等の補強リングに圧入、または焼きバメして締め込むのが普通ですよね。

参考書：「わかりやすい鍛造加工」日本塑性加工学会　鍛造分科会編

Answer

εが公称歪であれ対数歪であれ、論理は単純です。?式で十分です。
材料と応力が等価ならEとσが同じ。すなわちε＝E/σ＝一定です。
たわみと初期長のひずみ比が一定ですから、L0大ならΔL大となるわけです。
余談ですが、ﾔﾝｸﾞ率(520,000MPa)はセラミックか何かですか？

お気づきのようですが、補足します。金型の強度アップで肉厚を上げるのは
ひずみを抑える意味です。ひずみを小さくすれば、応力も抑えられます。
応力を一定とした仮定が現実に合わないですね。

Answer

１ｋｇ加えると１ｃｍ縮む、全長１０ｃｍのバネを想定して下さい。
これを２本縦につないで（バネの自重は無視）、１ｋｇ加えます。
当然、１本が１ｃｍずつ縮みますので、２本分では２ｃｍ縮みます。

貴方の計算は、これをちゃんと裏付けています。
何か疑問でも？

尚、質問タイトルには「荷重一定」とあり、
質問本分には「同じ応力」とあります。
荷重と応力とは、言葉を使い分けましょう。

この場合は、同じ寸法の円形断面なので、どちらでも良いのですが、
場合によっては、疑問を持たれます。御注意を。

御免、ちと訂正。
「１ｋｇ」ではなく「１ｋｇｆ」ね。

＃　原発事故報道で、どこかの大学の先生が
＃　マイクロシーベルト／ｈ　と　ミリシーベルト／ｈ　の換算で
＃　慌てふためいたあげく、間違えていたのが笑えた。

バネの例えと、回答(２)のアドバイスとで、分かって頂けましたね。

> 金型業界では慣習的か
> 金型が割れるとか寸法が膨らむとかのケースでは、
> その金型を厚くするとかしているようです。
型全体での割れや変形には、型を大きくするのは有効でしょう。
同じ変形エネルギーなら、大きな型全体で受け持つ方が
トータルで良い訳です。

もぅちっと、御自身の計算に自信を持って下さいよ。

圧縮荷重一定で被圧縮材の厚みと変形量の関係