動力学の問題

例えばコンベアベルトがどちらも同じ速度で有ればローラーは回転しないし、ローラーの直線運動速度はコンベアと同じです。そこから速度に差が有れば、それが回転となります。そしてその回転によって進む速度が変わります。
このように考えれば分かりやすいのではないでしょうか
今回の場合は速度差が２４ｃｍ／ｓ、半径８ｃｍのローラーからローラーの回転数はローラーの円周８ｘ２ｘπで割ったものになります。
２４／１６π回転毎秒＝３／２π回転毎秒
これを角速度に変換する。一回転毎秒＝２πラジアン毎秒から
角速度は３rad／secとなります。
又、２４ｃｍ／secのコンベアで動くローラーのスピードは２４cm／secをπで割ったものになります。よって７．６４ｃｍ／secとなり、４８ｃｍの速度がベースに有るわけですから、これをプラスすると５５．６４ｃｍとなります。
ローラーの角速度　3rad／sec
ローラーの直線運動速度　５５．６４ｃｍ
となります。これは回答（４）の方と同じです。

ベルトの運動方向は逆で有れば速度が同じの場合ローラーがその場に止まっています。速度が違えば速度が早いほうに動きます。角速度は速度差から計算できます。移動速度も速度差のみによって計算できます。

但し、このようなものは世の中には存在しません。いろんな要素を無視した形で図からの考え方だけです。摩擦係数、重量、接触面積（図では線接触）等いろんな条件が必要になります。

分かりやすく説明すると、例えば両手で鉛筆を挟んで、両手を同じ速度で同じ方向に動かせば鉛筆は同じ速度で進みます。片手を止めて動かすと鉛筆は片方の動きに合わせて円周から計算された速度で動きます。両手を反対方向に同じ速度で動かせば鉛筆はその場に止まっています。

ローラーの直線運動速度は勘違い、考え方が間違っていました。
ローラーの周速度と直線運動速度は同じと考えます。
ですのでこの場合７２ｃｍ／secと言う事になります。回転と混同していました。

周速=72[cm/s]-48[cm/s]=24[cm/s]
円周=8[cm]x3.14=50.24[cm]
回転速度=24[cm/s]/50.24[cm]=0.478[rps]
ローラー直線運動速度=50.24[cm]x0.478[rps]+48[cm/s]=72[cm/s]

多数決で負けてる気がするけれど

＞ローラーのスピードは２４cm／secをπで割ったものになります
これって、ローラー径がいくつでも速度に関わりないって意味になりませんか？

例えば、コンベアベルトＡＡ，ＢＢが、ラック又はタイミングベルトを貼り付けたバーで、
円形ローラが歯車又はタイミングベルト用プーリーと考えれば良いでしょうか？

以上であれば、先ず v1；72cm/sec － v2；48cm/s ＝ 24cm/sec にて速度の差を求めます。
その24cm/secの速度差が円形ローラを回転させます。
因って、半径 8cm の円形ローラ円周長さをφ16cm×π＝50.24cmにて求め、24cm/sec÷50.24cm＝
0.478回転/secにて回転数を求めます。
そして、円形ローラの回転数が求まったので、0.478×2×π[rad]/[sec]＝3[rad]/[sec]
にて、ローラの角速度 ω；3[rad]/[sec]が求まります。

ローラの直線運動速度 vcは、24cm/sec÷π＝7.64cm/secにて速度差によるローラの直線運動
速度を求め、v2；48cm/s＋7.64cm/sec＝55.64cm/secにてローラの直線運動速度 vcを求めます。

以上により、
※ ローラの直線運動速度 vc；55.64cm/sec
※ ローラの角速度 ω；3[rad]/[sec]
となりました。

小生は、デファレンシャルギア (differential gear) の三つある歯車の内二つが、
リニアの歯車(ラック)に見えました。

デファレンシャルギアは、駆動系伝達機構でもあり、動力に大きく関係していますから。

ファイナルアンサーですよ。
中心点であるＣの速度や、回転数はね。
メカをやっている人とか、物理現象をやっている人は、同じ考えになると思います。
既に、回答者さんでも、同じ考えになった方が居るのが、なりよりの証明です。

小生が、小生が、同じであると判断した機構を、幾つも冶具ファクチャーを参考にして、
設計した経験もありますし、先輩の計画設計した類似機構を組立図にしたり、部品図に
したりした経験も、３０年余り前にあります。

経験も大きいです。
１Ｎの涙さんの記載漏れがないことを、祈っています。

ベルトは接しているだけで接圧はゼロと考えれば、ベルトとローラの間に
摩擦力は働かないので、ローラは静止状態を保つようにも思えます。

もう少し突っ込んで考えると、空気には粘性があるので、ベルトの表面に
貼り付くような空気層があって、これに引っ張られてローラが回転する
ようなメカニズムもありそうです。
そう考えると、ｍ点とｎ点における、ベルトとローラの相対速度が等しく
なる点でバランスがとれると考えてもよさそうに思えます。

ローラの軸は固定されていないで、ローラはベルトの運動に伴って回転運動
を伴って移動するような状況を想定しているのでしょうか？

解析の前提となる条件が省略されすぎているように感じます。


ベルトとローラの間においてすべりは発生せずに、ローラが回転運動と直線
運動をおこなうと考えれば答えは簡単に求まります。

学校の試験問題であったり、教科書の問題であれば、前提となる背景が
暗黙の条件として出題側と問題を解く側で共通認識されているように思います。
この問題が掲載されていた本の章のネーミングは“動力学”だったのでしょう
か？？？？？　　　何か違和感を感じます。

＞当時は結局、確信が持てず可変速にして逃げてしまいました
上記の記述に惑わされました。
学生さん用の演習問題ではなく、新人技術者が、実際に体験したことをこの
森の読者さんに対する質問に書き換えたものと解釈しました。

普遍的な事柄、経験した事実、想像していること、などをきちんと書き分ける
ことは、指導者についてトレーニングを受けないと難しいこと思います。

私自身も、十分な日本語を記述できるスキルがありません。今後とも多少でも
進歩できるように、精進していきたいと思います。

私は、コンベアのベルトとローラの関係と思いこんでしまったので、
ローラの位置は動かないと考えました。出題の意図は異なっていたのですね。

情報を送り出す側と、それを受け取る側の「思い」が共通する場合は、
ごく少ない言葉で意思疎通ができますが、「思い」が異なる場合は、
余程丁寧に説明しないと十分な意思疎通ができない可能性があることを、
このＱ＆Ａが教えてくれました。

このやりとりをご覧の皆様が、参考にして頂ければ大変に有難いことと
存じます。

＞摩擦は考えないでください。回転運動しながら→に等速度運動します
＞摩擦及びベルトの滑りなども無視して下さい。よって歯付かどうかも問題外です
＞重さは問題文には元々ありません。無視して下さって結構です

あからさまなヒントになってもいけないので、出題者さんは苦労しますね。
どの程度の表記とするかは出題者の苦心することと思いますが、「ベルトと
ローラの間にすべりは生じないものと仮定します」のような条件提示があれ
ば、より多くの方から回答が寄せられたようにも思います。

瞬間回転中心の考え方を用いれば良いんじゃないかなあ