楕円と円に接する線の長さ

Question

楕円の周りを円が回るときに、その楕円と円に接する接線の長さの求め方を教えてください。よろしくお願いします。

初期状態は、楕円を原点に配置。x^2/25^2+y^2/15^2=1
円の中心(100,0) 半径15　円は原点を中心にして回っていきます。

接線は4本あると思いますが、初期状態で、
楕円との接点は第４象限、円との接点は第1象限です。
回転角θと接線の長さの関係。

結果とプロセスも教えてください。よろしくお願いします。

Answer

再々出です。

再出で、理解し難い記述をしたので、以下に整理して記述します。

さて、円の中心位置を仮に移動させ、接線を水平引くを基本に考えると、円の特性から
円の中心位置は、接線の位置から15mmマイナスとなるので、求めやすくなります。当然ですが、
100^2＝(楕円と円の中心位置差の水平方向距離)^2＋(楕円と円の中心位置差の垂直方向距離)^2
の関係があり、円の中心位置は求め易くなる。

先ず、楕円と円の基本構成では、

↑￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　　　　 　
　　　  15mm　　　　　　　　　　　　　 　　　　
←　25mm ・ 25mm　→　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　 　 15mm　　　　　　　　　　　　　　　　　半径15mmの円中心
　　　　 ↓　　　　　　　　　　　　　　　　　 円の中心は(100,0)　　　となり、　　　　　　　　　　　　　
楕円を90°回転させると、

↑￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
 　　   25mm　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・　　　　
　←15mm ・ 15mm→　　　　　　　　　　　　　　半径15mmの円中心　
　　 　 25mm　　　　　　　　　　　　　　　　  円の中心は(94.87,10)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≪角度が求まる≫　　　　
　　　　 ↓　　　　　　　　　　　　　　　　　　
となるようにして、楕円の中心と円の中心が求まり、その角度も判り(求まり)
その角度だけ、楕円の中心を回転すると、初期の円の中心位置となり、妥当性が確認できます。

そして、楕円を任意の角度に回転させる場合も、水平に接線が引ける計算で楕円の円周を
微分し接線を求めます。
そして、円の中心はその接線の15mmマイナス位置で、楕円と円の中心位置の長さは100mmです。

楕円を任意の角度に回転　　　　　　　　　　　　　　　　・
￣￣￣￣と平行な接線と　　　　　　　　　　　　半径15mmの円中心
Ｙ軸座表を求める　　　　　　　　　　　　  　　円の中心は(##.##,**.**)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　**.**は、Ｙ軸座表－10となる

のように、ポイント毎に求めていけば良いのではないでしょうか？

Answer

下記URLが参考になると思います。
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(楕円の共通内接線を求める式を教えてください)
http://questionbox.jp.msn.com/qa3579803.html
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今回は一方が円なので上記URLよりは簡単なのでは？

でも私の数学力では上記URLを見ても分からなかったので、
泥臭いやり方ですが、楕円側から求めてみました(P点→θ)。
参考になれば幸いです。
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my($xl1,$yl1,$rd1,$rd2)=(25,15,15,100);
for(-90..270){
	#楕円の接線(P点=xp1,yp1)
	my $an1=deg2rad($_);
	my $xp1=$xl1*cos($an1);
	my $yp1=$yl1*sin($an1);
	my $an2=rad2deg(atan2(-$xp1*$yl1**2,$yp1*$xl1**2))+180;
	#接線をrd1分オフセット
	my $an3=$an2-90;
	my $xp2=$xp1+$rd1*cos(deg2rad($an3));
	my $yp2=$yp1+$rd1*sin(deg2rad($an3));
	#オフセットした接線と円(rd2)の交点
	my $tmc=atan2($yp2,$xp2);
	my $tml=sqrt($yp2**2+$xp2**2);
	my $tmv=$tml*sin($tmc-deg2rad($an2));
	my $tmu=sqrt($rd2**2-$tmv**2);
	my $tmb=atan2($tmv,$tmu);
	my $xp3=$rd2*cos(deg2rad($an2)+$tmb);
	my $yp3=$rd2*sin(deg2rad($an2)+$tmb);
	#接線の長さ
	my $lg1=sqrt(($xp3-$xp2)**2+($yp3-$yp2)**2);
	#円(rd1)の中心角度θ
	my $an4=rad2deg(atan2($yp3,$xp3));
	printf"x2=%0.3f y2=%0.3f x3=%0.3f y3=%0.3f l1=%0.3f a4=%0.3f
"
		,$xp2,$yp2,$xp3,$yp3,$lg1,$an4;
}
----------

上記スクリプトを少しいじって、10°ごとの接線の長さと最小最大を求めると、
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length= 87.685 angle=  0.000
length= 84.915 angle= 10.000
length= 83.782 angle= 20.000
length= 84.043 angle= 30.000
length= 85.347 angle= 40.000
length= 87.383 angle= 50.000
length= 89.893 angle= 60.000
length= 92.657 angle= 70.000
length= 95.484 angle= 80.000
length= 98.194 angle= 90.000
length=100.609 angle=100.000
length=102.538 angle=110.000
length=103.763 angle=120.000
length=104.022 angle=130.000
length=103.018 angle=140.000
length=100.507 angle=150.000
length= 96.558 angle=160.000
length= 91.880 angle=170.000
length= 87.685 angle=180.000
-----
min_length= 83.730 at angle= 22.807
max_length=104.064 at angle=127.368
----------
となります。

Answer

再出です。
解らない。

接線は、
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/bibun/sessen-no-houteisiki.html
で確認できるし、楕円の接線や円の接線も【具体例】をクリックすれば確認できます。

> 楕円と円に接する共通の接線を引き、楕円と接線の接点をP点、円と接線の接点をQ点とする。
> 長さPQをθで表現したい。
も？？？です。
楕円と円に接する共通の接線を引きは、接する点は共通ですよね。
だから、楕円と接線の接点をP点、円と接線の接点をQ点とは同じ。
楕円と円が交差する交点の楕円の接線と円の接線の交差する角度を求めるですか。

でも変だ！！
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86
にて、初期状態は、楕円を原点に配置し、x^2/25^2+y^2/15^2=1　なら、
(・が原点/中心、x＝0、y＝0となるのかな？)　　円の中心(100,0) 半径15　
<xとyが1目盛りが1mmとする>　　　　　　　　　 円は原点を中心にして回っていきます
　≪　↓　楕円　≫　　　　　　　　　　　　　　　≪　↓　円　≫

↑　　　　　　　　　　　　　　　　 　楕円原点/中心から100mm離れている
　　　  15mm　　　　　　　　　　　　　　　　　円の中心(100,0)
←　25mm ・ 25mm　→　　　　　　　　　　　　　　　　・　　　　　
　　 　 15mm　　　　　　　　　　　　　　　　　半径15mmの円　
　　　　 ↓　　　　　　　　　　　　　　　　　 円の中心で回転

楕円も原点/中心で回転

の共通の接線の長さですか？

それなら、楕円が

↑　　　　　　　　　　　　　　　 ↑　　　　　　　　　　　 　
　　　  15mm　　　　　　　　　　　　　   25mm　　　　
←　25mm ・ 25mm　→　　時と　　 ←　15mm ・ 15mm　→　とで最大角と最小角になり　
　　 　 15mm　　　　　　　　　　　　　   25mm　　　　　　　
　　　　 ↓　　　　　　　　　　　　　　　 ↓

円の方を＿＿＿＿と平行に接線が引ける位置まで移動させる。
その移動は、楕円の原点/中心から等間隔で、例えばマンガ絵の上部へ移動。
(円弧で移動となるかな)
そうすれば、楕円の原点/中心と円の中心の角度(傾き)が角度となります。

のような手法で、楕円の接線の角度を微分で求め、それが＿＿＿＿(水平になる角度とその時のＹ軸座表を求める)で接線が結べるように、円の中心座表をも回転させ、
前述のようにして求めていけば、少し簡単に求まるのではないでしょうか。

↑￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　　　　 　
　　　  15mm　　　　　　　　　　　　　 　　　　
←　25mm ・ 25mm　→　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　 　 15mm　　　　　　　　　　　　　　　　　半径15mmの円中心
　　　　 ↓　　　　　　　　　　　　　　　　　 円の中心は(100,0)

↑￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
 　　   25mm　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・　　　　
　←15mm ・ 15mm→　　　　　　　　　　　　　　半径15mmの円中心　
　　 　 25mm　　　　　　　　　　　　　　　　  円の中心は(94.87,10)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≪角度が求まる≫　　　　
　　　　 ↓

楕円を任意の角度に回転　　　　　　　　　　　　　　　　・
￣￣￣￣と平行な接線と　　　　　　　　　　　　半径15mmの円中心
Ｙ軸座表を求める　　　　　　　　　　　　  　　円の中心は(##.##,**.**)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　**.**は、Ｙ軸座表－10となる

にて、限定で求まりませんかね。

角度は、楕円と円の中心位置で求まるし、長さは円の中心の(##.##,**.**)の##.##で
求まります。

後は、便宜上で円の中心を(100,0)に楕円の中心を回転させ戻せば良いのだから。
角度と長さを求める場合は、戻さなくても求まるので、便利がよい計算手法です。

Answer

># こりゃまた、どんな装置の設計に必要な情報なんだろぅ。

憶測に過ぎませんが
いにしえの昔の紡績機
http://www.ne.jp/asahi/okuyama/techis/1001/saxony.html
これの中心のボビンが楕円と仮定
ボビンの廻りを円形のガイドが公転する

紡績機は古過ぎて誰も知らないかも？
ではスピニングリールなら
http://fishing.shimano.co.jp/product/reel/1619
中心のスプールが楕円
楕円スプールの廻りを回転するロータ断面が円形

楕円スプールってアリか？

太古の昔から有る釣竿を使わない「手釣り仕掛け」
http://www3.coara.or.jp/~chidori/ika-yobi.html
これの糸巻きに糸が沢山巻いてある状態はほぼ楕円形

想像するに
楕円スプールに一定速度でロータが巻き付けると
ラインは半回転ごとに高速と低速と繰り返す
このリールでルアーを引くと
何もせず一定回転で巻くだけでルアーが踊る
釣果アップ！？

Answer

小生の数学的センスがないのか、製図的センスがないのか判りませんが、

> 楕円の周りを円が回るときに、その楕円と円に接する接線の長さの求め方を教えてください。
> よろしくお願いします。
接線の長さが？？？です。　彊ならポイント/点かな。

> 初期状態は、楕円を原点に配置。x^2/25^2+y^2/15^2=1
> 円の中心(100,0) 半径15　円は原点を中心にして回っていきます。
理解できない。

> 接線は4本あると思いますが、初期状態で、
> 楕円との接点は第４象限、円との接点は第1象限です。
> 回転角θと接線の長さの関係。
接線は4本あるが？？？です。

楕円の接線(傾き)の求め方は、楕円の円周上のポイントを確定し、微分すれば求まるので、
楕円の周りを円が回るときに…が、？？？？です。

楕円の周長を求めるのに、円の回転角と円周を使用するでしょうか？

単純に微分積分を使用し、楕円の周長を求める訳にはいきませんか？
楕円を1/2にして微分積分を使用するか、楕円を1/4にして微分積分を使用するかで。
微分で傾きを求め、その傾きの連続が楕円の円周。
円の円周は、多角形の外周の連続。
円周率であるπが3.14から3になりましたが、これは正六角形の外周と同じ。
これでは、やはり駄目だろう。
正七角形や正八角形、正九角形、正十角形、正十一角形、正十二角形、…の外周の求め方は？

それと同類の考えで、楕円を1/4にして微分し、その傾きの連続が楕円の円周で求めて
いくかな。

楕円と円に接する線の長さ