パルスの遅延について

　この波形を見る限り、トランジスタの動作の問題ではなく、ベース回路の問題だと思われます。
　実際の回路は、回路図のような単純なものですか。
　信号源はパルス発生器から直接入力しているのでしょうか。
　トランジスタは基板に取り付けた状態なのでしょうか。
　このようなことが具体的にわからないと、原因解明をすることは難しいと思います。

　測定状態の写真などがあるとよいと思います。

ごめんなさい。前に投稿した内容ですと、ベースから電流がエミッタに流れてしまいますね。ですので、ベース抵抗が必要です。

多くの方が指摘している通り、少数キャリア蓄積効果です。この場合、トランジスタをOFFするにはキャリアを引き抜く必要があります。引き抜く最適な方法は、この回路の目的によって対応が異なります。ここで肝心なのは、このトランジスタのデータシートを参照すると、Cb(ベース容量)が60pF(at 0V)もあることです。ベース電流を下げるのは有効な手段ですが、それによりON速度も引き抜き速度も低下します。BEに並列に抵抗を入れるのも有効ですが、OFF時間遅延はゼロにならないのでどのくらいで妥協するか、試行錯誤が必要になります。これらの方法を検討する場合は、τ=CR で時定数を計算し遅延時間の参考にされてください。ベース抵抗にスピードアップコンデンサを挿入するのも有効な手段ですが、同様に最適値を決めるのに試行錯誤が必要でしょう。
　自分ならLEDと抵抗の間にトランジスタを移動します。電源≒パルス電圧であることが前提です。ベースのキャリアは、0Vになるとき発振器が高速で引き抜いてくれます。Rの決め方はわかりますよね？

ベース電圧が下がる前にパルスに比例して出力が少し下がって、ベース電圧が完全に下がると出力がさらに下がる様子なので、先ずはベース(パルス)電圧(電流)をギリギリまで下げて、ベースバイアス電圧をかけるくらいで調整してみてはいかがかと。

　ベースの動作は電流が流れ込むかどうかであって、ベース電圧を第一義的に注目することは違います。ベース電圧約0.6Vで電流が流れ込めばON、同じ約0.6Vでもわずかに下がって電流が止まればOFFという動作です。その上で、高速に完全にOFFするためにはベース電圧を0Vまで落とす必要はあります。くどいようですが0VでOFF、0.6VでONというわけではない。ベース電圧ではなくベース電流を第一にイメージする必要があります。正電圧のパルスで高速にOFFする対策は、BE間に抵抗器が入った普通の回路にすることです。
https://detail-infomation.com/base-resistance-base-emitter-resistance/
　ベースエミッタ間抵抗RBEはなぜあるの？
http://www.miyazaki-gijutsu.com/series4/densi0433.html
　具体的なエミッタ共通のスイッチング回路
http://doku.bimyo.jp/bipoler/
　ICBOを退治する。
https://www.zea.jp/audio/schematic/sc_file/001.htm
　Rb