用紙が詰まる

おもに2つです。
まずは
・用紙セット段階の手順改善

→年賀はがきは、非常に紙粉（裁断粉や繊維くず）が多く、
プリンター内部のローラーに付着して摩擦力が落ち、滑ってしまい
給紙ミスや用紙送りミスに直結します。
また、冬の時期は静電気によってはがき同士がくっつきますから、
余計に紙粉や繊維くずが多くはがきにくっついていますので、
かならず1枚1枚ずつにして、よく紙粉と静電気を除去してください。
4方向からパラパラ漫画のようにしてめくると比較的落としやすいです。
そのあと、軽くそろえてプリンターにセットしてください。
郵便局で買ってきたら、開封してそのままプリンターへ、というのはNGです。

・給紙ローラーの清掃
経年や、はがきを多用すると、紙送りのローラー表面に紙粉やほこりが付いて滑るため、給紙精度が落ちます。
これらは、所定の操作によってローラー表面を適切に清掃することで、回復させることができます。

給紙ローラクリーニングをする（PIXUS MP630）
https://faq.canon.jp/app/answers/detail/a_id/44890

上記のほか、
プリンタクリーニングシート(A4サイズ3枚入り)
CK-PRA43
https://www.elecom.co.jp/products/CK-PRA43.html
をセットして、
原稿を未使用のA4用紙を使ってコピー操作をすることで、
粘着素材によってローラー表面の紙粉を剥ぎ取るのも有効です。

これらにより、給紙精度を回復させるメンテナンスをしてみてください。

【インクジェットプリンター】給紙ローラクリーニングをする（PIXUS MP630）
https://faq.canon.jp/app/answers/detail/a_id/44890/
給紙ローラクリーニングをしてみては？
また年賀状の表面・裏面に製造時に付着した紙の粉などが残っているような場合もあるので柔らかい布などで拭いて取り除きましょう。
年賀状自体が反っていたりするようなら反りを直したり静電気で年賀状同士が付着しやすくなっている可能性があるので良くほぐしてみましょう。

https://cweb.canon.jp/cgi-bin/e-support/repair/select/info.cgi?pr=MP630
本製品は2014年9月末日をもちまして修理対応期間が終了しており、修理を承ることができません。

となっているのでそろそろプリンタ自体の買い替えも検討して良いかも知れません。