エプソンプロジェクタが信号を受け付けない

自分なら、そのHDMIコードの故障などを疑います。
まずはコード類などを新品に変えましょう。
（自分なら新品じゃなくても
安い中古のコードを買いますけどね。）
それと、必ず同じプロジェクターを使用する場合は
プロジェクター内にあるランプは消耗品です。
あまり暗くなくても交換などをしないといけません。

コネクタやケーブルの破損に注意。また、Wi-fiの場合は、通信回線の安定性や速度に注意。アップデート中に注意。起動までの時間に注意。

iPhoneの場合ですが、プロジェクターが完全に起動してからHDMIを接続していますか？アダプターを使用して出力する場合、接続先が起動していないと判断すると信号そのものをカットします。
これは節電のためなのですが、これでトラブルになることはよくあります。
（iPhoneを再起動して接続すれば直ります）