用紙トレイを外した時にどこからかパーツが外れた

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj738dn
こちらですね。

>買って2年と少しなので保証はないですよね。
であれば通常の1年保証が切れているので修理に場合は有償修理になりますね。

インクジェットプリンター・複合機の修理サービス
https://www.brother.co.jp/product/support_info/repair_serv/mymio/index.aspx
修理費用は一律料金になります。
例え部品一つの修理や交換でも料金は変わらないです。ですのでプリンタ自体の買い替えも考えるかも知れませんね。

まずはお使いのプリンタの型番を書きましょう。

>因みにどこのパーツなんでしょうか？
どこのパーツかまではわかりません。「用紙トレイを外した時」とあるので給紙に関係するパーツだろうとは思いますが…

プリンタの型番がわからないので何とも言えませんが古いプリンタだと既に修理対応期間が終了していて修理できない事があります。その場合はプリンタを買い替える事になります。
また通常の1年保証が切れている場合は有償修理となるで修理となるとかなりの額になります。ですので修理せず買い替えるって選択肢も出てくるかも知れません。

給紙機構ですね。折れていますので覗き込むと見えるのではないでしょうか？

修理もしくは買い替えとなります。