扶養控除

◆バイト収入103万円以下
親の所得に扶養控除が適用されます。親の課税所得にもよりますが、例えば「所得税率20%」なら、住民税分と合わせて11万円くらい親の税金が安くなります。質問者さんの年齢が19歳以上23歳未満なら、もっと多くて17万円くらい安くなります。（この金額は、親の収入によって変わってきますのでご注意願います）
なお、質問者さんの所得税は0円です。

◆バイト収入が103万円を超えて130万円未満の場合
親の扶養控除がなくなりますので、その分はまるまる損します。
一方、質問者さん自身は、勤労学生控除により所得税は0円のままですが、124万円を超えると住民税が多少かかってきます。

◆バイト収入130万円以上
住民税のほかに、130万円を超えると所得税もかかってきます。
また、親の扶養を外れますので、質問者さん自身が健康保険に入らないといけません。この保険料が8万くらいとかなり額が大きくなります。給料が増えるとそれに応じて保険料も高くなります。
さらに、勤務先や働き方によっては会社の健康保険に加入するとともに、（20歳未満であっても）厚生年金に加入するようになる場合があります。ちなみに、20歳以上であれば、もともと国民年金の保険料を支払っていると思います。これが厚生年金に変わるわけですが、130万を大きく超えない程度のバイト収入であれば、厚生年金のほうが少し安いはずです。

結局のところ、親の扶養控除がなくなる103万円を超えて働くなら、損にはならないものの、ざっくり言って140万円を超えないと金銭的なメリットはあまりないのではないかと思います。
なお、ご存知と思いますが、住民税と国民健康保険料は前年の給与の額によって、その翌年にかかってきます。

扶養控除は養っている人（＝親）の税金が安くなる制度なので、養われている人（あなた）自身には影響ありません。
外れると親の税金がその分高くなります（親の収入によるが所得税と住民税あわせて年あたり５万～１５万程度）。

親が会社員・公務員で健康保険にタダで入れてもらっている（被扶養者になっている）場合は、その制限をはみ出すと自分で市町村国保に入らなければならなくなります。
条件は一般的に『年収』が１３０万円以内の【見込み】・・・月収で１０８，３３３円超（＝１３０万円／１２）が数ヶ月続けば「年収１３０万円を超える見込み」として、１年続いていなくても被扶養者からは外されることになる場合も多くあります。
実際の運用は健康保険ごとに違うので、親御さんの健保の条件を確認しましょう。

市町村国保の保険料はそれこそ市町村ごとで違いますから、自身の前年の収入や今年の収入見込みなどを確認して、いくら払う羽目になりそうか調べるのが早いでしょう。

自身が払う税金については、勤労学生控除などを考えて判断してください。
まあ、税金に関しては稼いだ以上に取られることはないので損得で語るものではないと思いますけどね。

親の年収で違う

・貴方自身に関しては、勤労学生控除を使えば、130万までなら所得税はかからない
　（住民税は多少課税される）
・月額の収入が通勤交通費込みで108333円以内で年間130万を超えないのなら、
・貴方自身は、翌年住民税を多少払うだけです・・・損と呼ぶ金額では無いです
　（130万を超えると、勤労学生控除は使えないので、普通に所得税、住民税がかかります
　　及び、親御さんの健康保険の扶養からも外れる可能性が高いですから
　　自分で、国民健康保険に加入して保険料を支払う必要が出てきます）

・損と言うか、出費（税金）が増えるのは親御さんです・・貴方を扶養控除に出来ない事で
　所得税で38000～76000、住民税で33000、で71000円強～11万前後、多く税金を払うことになります