インダクターの必要性とは？

「インダクター」は鉄心としてフェライトコア（黒っぽい材料）
が使用されています。
このフェライトコアが割れたのでしょうか？
フェライトコアが割れたとしたらインダクタンスとしての定数
(特性)が変化します。
「インダクター」はフェライトコアの特性とコイル(銅線)が一体
となって「インダクタンス(ＺΩ)」の役目をする電気部品です。
このため、割れた場合「インダクター」の本来の役目をしなく
なります。
同一仕様の「インダクター」を購入して交換することをお勧め
します。

何の基盤かわかりませんが高周波対策で使用している部品の１つがインダクタ。
オーディオに関わる回路だとしたら耳障りなノイズが聞こえるようになるかもしれません。
そんなの気にならないというなら導線で結線してもいいかもしれませんが･･･電源に使用している回路だとしたら最悪の場合は他の部品も壊れるだけでなく異常加熱からの発火に繋がる可能性も考えた方がいいかもしれません。

自宅を焼失してもいいというのであればこれ以上は何も言いません･･･

一般人が目にする事が出来るインダクタなら
確率的にスイッチング電源の構成分品でしょうかねぇ
https://www.tdk.com/ja/tech-mag/power/004

スイッチング電源ならインダクタ必須
これが無くては動作しません

メーカーの立場からすれば、割れた基板や壊れた部品がある状態であれば、「使用を中止して修理を依頼して下さい」との状況でしょう。
上記をご承知のうえでのQ&Aサイトへの投稿と思います。
お問い合わせのインダクターがどのような機能を果たしているかによって判断が異なる可能性がありますが、電源の入口についているインダクターならば、雑音防止の機能をもっている部品の可能性が高いと思います。
そうであれば、銅線が繋がっていれば、電源の供給は維持されるので、回りの機器に電波雑音を振りまく可能性が高くなりますが、その状態で、当座の期間であれば、使える可能性はあると思います。