電池ボックスの端子部分の錆について

電池と接触する部分の赤錆ですね。

時計にどこまでの信頼性を求めるのか（例えばその時計が命にかかわるような機能を担っている）によりますが、そのまま使われても問題ないでしょう。

いろいろな方法を各回答者様から提示されていますが、私からもひとつ。

錆の除去だけならネジザウルスリキッドなんていうものもありますが、そういう類のケミカルを使ってもよいかもしれません。
ネジザウルスリキッド、使用するとクサいです。
その後、ネジザウルスアフターリキッドで錆の進行を防ぐと良いかもしれません。ちなみに自分はメーカの回し者ではないです。
似たような製品はあるので、探してても良いでしょう。ネジザウルスだと量が多いですし。
電気的接触の性能と接点（バネ）寿命を考慮すると、めっきしたいかもしれません。簡易めっきのキットもあるにはあります。
ですが一度でも錆が出てしまうと進行してしまい、いずれバネが朽ちて折れてしまうかもしれません。

長く使いたいなら、錆を物理的に落とした後に転換剤で錆の性質を変えてしまう方法もあります。進行しない錆にしてしまうという方法です。

あとはこの時計に対する思い入れや重要度によるので、質問者様の判断ですね。

電池の液漏れでの青い物質が付着している場合は、別の方法である程度は除去できますが　それはまた別の話。

そのままでも使えますが、合成油系の接点復活剤を使えば接触が復活するとともに、これ以上サビが進行するのを防ぐ効果が期待出来ます。

サビを落としただけでそのまま使い続けると、残ったサビからまたサビが広がってしまいますが、接点復活剤を塗っておけばサビの進行が遅くなります。

塗りすぎた場合には、ティッシュなどで拭き取って下さい。

安全性の観点では、ご提示頂いた状態であれば、電池を交換してそのまま使用しても問題ないでしょう。
錆によって電気的な接触が悪くなっている可能性があるので、時計が不意に止まってしまう可能性を完全には否定できないので、その旨ご理解の上お使いになるのであれば問題ないと思います。

可能であればウエットティッシュ等で茶色い錆をきれいに拭い、その後紙やすり（百均等で購入可能です）を使って端子部をきれいにすれば（＝茶色を取り除けば）問題なく使用可能です。
茶色も全部取り去る必要はありません。電池が直接接触する部分のみきれいにすればOKです。

以上、ご参考まで。

電池に接触するこの部分の錆びをもう少し取ってください
ただ、このままでも使えます