スポンジに針を垂直に貫通させたい

本件の本当の目的はなんでしょう？
スポンジに針が垂直に刺さるダケでいーの？
針に糸を通して普通に縫うんじゃあないの？
スポンジに布とかフィルムとかを縫い付けるとかじゃあ？

針を、
垂直に立てる物、があればよいのだが。

真四角の箱と、さしがあれば、それが可能
箱を置き、さしを横に抱かせば、L型の部分ができる
L型の引っ込んだ部分に、針を立てらせて

その下に、スポンジを置いて、上から突き刺せばよいと思う。

スポンジは、中に丸い空間がある。
それ以外に、ゴムは滑りが悪い
その空間、摩擦、のせいで、針がまっすぐに立たない可能性がある。
水とか、油をつけてみるとかの、工夫が必要かもしれない。

針を、長い真っすぐな、棒に取り付けることができれば、
ドアを開けて、その下に、スポンジを置き。
ドアの先に針を付けた棒を上から滑らすようにおろせばよいかもしれない

>ほんの少しのズレもないように

というのが、どの程度の誤差を含んで良いのかを明確にしていただかないと、方法を探ることができません。
(場合によっては「不可能」という結論もありえます)

「ズレがない」というのは、スポンジゴムのどこでもいいのでできるだけ垂直に貫通させたいのか、スポンジゴム上の特定位置に貫通させたいのか、それとも両方なのかを明確にしてください。

また、針の太さによっては途中で向きが変わってしまう懸念もあるので、太さを明確にしてください。

数が多いなら冶具を作ることをお勧めします。
冶具って言っても難しいものじゃなく、アクリルブロックに針よりちょっとだけ太い穴を開けるだけです。
アクリルブロックに垂直に穴を開けるにはボール盤が必要ですが、借りられるホームセンターは結構あります。

ボール盤のような構造のチャックに針を咥えて、静かに押し込むようにすれば、所要の位置からのズレを小さく抑えることができそうに思います。