刈払機（草刈り機）の修理で

写真で見る限り・・ですが、、
①まず、写真にある四角い金属の”フタ”は、取付けが裏返しになっているのではないでしょうか。通常は凸面がオモテに出ているはずです。
そのせいで、右側写真のような内部にあるダイヤフラムという薄い膜（弁）の動きが制限されていると思います。ひょっとしたら、これだけで改善の可能性があります。（中のぱーつが押し込まれた影響があるかも）
②ダイヤフラムの劣化？
分解されたとのことですが、キャブレターそのものを分解されたのなら、このダイヤフラムも確認されたと思います。参考写真のように、膜が固くなっているとか、シワになっているなら交換すべき消耗品です。
③プライミングポンプ（プライマリーポンプ）の樹脂にヒビなど入ると燃料を吸い上げません。ペコペコして、燃料が上がってこなければひび割れが疑われます。（これも消耗品）
④タンクから伸びているチューブですが、見たところ正しいように思えますが、ペコペコをしたときに、透明のチューブに燃料が残っていれば、その動きで分かります。
ペコっと押したときに燃料タンク側に戻るような動きならOKです。
⑤＞キャブレターをまとめてとめてある4本の長いネジが・・
キャブレターをエンジンに取り付けてあるのは2本の太いネジですが、4本の部分は、ダイヤフラムの取り付けてある部分ですね。
多分3mm径のネジですから、ホームセンターで入手できます。
見本を持っていくと良いでしょう。ただし、同じ長さのものがあるかどうか判りませんので、長めを買って短く加工するなど必要かもしれません。
⑥清掃に関してですが、キャブレターは微細な穴が数カ所に加工されていて、ゴミや燃料の固化で詰まることがあります。
バラせるだけバラして、市販のキャブクリーナー（スプレータイプ）で洗浄します。また洗浄用のスプレーもあります。（ホームセンター）
⑦どうしても上手くいかない場合は、キャブレターそのものの交換をします。
多くのキャブレターは、「ワルボロ」又は「ZAMA」という2種類であることが殆どです。
実物の形を良く確認してAmazonなどの通販で購入できます。

（ZAMAタイプの例）
https://www.amazon.co.jp/1PZ-EC5-JP1-EGT220DX-EGT24DX-%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%B3%E3%83%91%E3%83%BC%E3%83%84/dp/B099F2N3C3/ref=sr_1_5_pp?crid=1NUA6QZ0C6185&dib=eyJ2IjoiMSJ9.-usrfmLA7TBIyMJieKJmsLTQH8UbymXoIIUI3chejbVe-u1Ioa8WUoeMhGUrZ56AAO4AbKGq7zXgFQMfUCM6dHQ8TAyk0Vywu-p8LuFFObhvlshk5dW_v3oubRYhGpEfvT54ZFESou7rhNXb0uP_586-owSuPtuvteyKV846ReG1DFKlDamnlz29YvQG6zStVnrf2oEbpR8QPQCt6enNcn90J9fRkX7eCQwmSYp3cUPuS_LjogyEgDraLUytW_uQhTvmjsPsyteB7lYouUZ9WLMuVhugR4AufNLdH5speYM.0vhne_Somby-bvk2D18_pICIznkACk1J3wal1lbl8T8&dib_tag=se&keywords=%E3%82%AD%E3%83%A3%E3%83%96%E3%83%AC%E3%82%BF%E3%83%BC&qid=1709694769&sprefix=%E3%82%AD%E3%83%A3%E3%83%96%E3%83%AC%E3%82%BF%E3%83%BC%2Caps%2C181&sr=8-5

https://www.youtube.com/watch?app=desktop&v=Dy-cwVXkeRQ
これが参考になると思います。
ポイントは「ライニングポンプ」の劣化です。
始動時に数回押して燃料のエラー抜きをしますが、これが
劣化するとポンプの役目を果たしません。交換してください。
通販でも買えると思います。
ねじなどは、ホームセンターで確認してください。

圧縮の有無を知りたい
プラグを外し、プラグホールに指をあてて、スターターを引きます
ピストン・シリンダーが元気なら指が押し返されるような圧力を感じるでしょう

プラグの火花が出ているか知りたい
プラグの金属部分とエンジンの金属部分を接して、スターターを引きます。ぱちぱちと火花が飛んでいればOK、言葉にするとわかりにくいのでやり方はお調べください

すべてセットして、何度かスターターを引いて、プラグが湿っているか確認

これでレシプロエンジンがかかる三つの条件を点検できます