空気が入った風船の内圧

Question

10mLの空気が入った風船の中に空気を2L入れたときの風船の内圧の計算方法が分からず困っています。
（10mLの空気は自然な状態で風船内に含まれる空気とします。）

素人考えですが、ボイルシャルルの法則を使って計算しますと
P1V1＝P2V2
大気圧：1atm
１atm×10ml＝Ｘatm×2000ml
　　　　 Ｘ＝0.005atm

となります。何か違うと思うのですが、そわがわかりません。
分かる方いらっしゃいましたら教えて下さい。
宜しくお願いします。

Accepted Answer

2Lの空気を注入した風船の体積は容積のわかっている容器の底に風船をくくりつけて水をいっぱいまで注ぐことにより
（容器の容積）―（注いだ水の体積）で求まります。

ただしこの場合「大気圧下に置かれている風船に比べて水中に沈められた風船は水圧により内圧が増加する。」点に注意が必要です。

その増加量は風船の水深が10cmなら約0.01atm、20cmなら約0.02atmになります。

これを加味してざっとP1V1=P2V2で計算してみると。
P1=1atm、P2=x atm、V1=2L、V2=y L
で1×2=x×y
x=2/y atmとなります。

水圧の影響は風船の中心の水深が α cmの場合
α/1000×0.987で近似的に求められますので
大気圧下での風船の内圧は　2/x-α/1000×0.987 atmとなります。

ただし計算してみるとわかりますが計測した風船の体積が2Lに非常に近い場合は前述の水圧項が大きなファクターになってきます。
この水圧項は所詮近似的な計算ですので（風船の上から下まで連続的に変化する水圧を正確には計算できていない。）この誤差が無視できないならば微圧計での測定が有効でしょう。

ちなみに回答(1)のKさんがご指摘された風船の個性（収縮力の差）を考慮に入れた計算を参考までに以下に示します。

P1=1atm、P2=x atm、V1=2L、V2=y L
風船の内圧x atmは外から内側に向かってかかる大気圧1atm + 水圧α/1000×0.987atm + 風船の収縮力βatmの合力と拮抗しているので
x = 1 + α/1000×0.987 + β
で 1×2=(1 + α/1000×0.987 + β)×y となります。
このときβ項が大きいほど（つまり収縮力の大きい風船ほど）水圧項が相対的に小さくなり誤差範疇になってくるのがお分かりかと思います。
逆に収縮力の小さい（つまり体積が2Lからいくらも小さくならないような風船）の場合、水の中に沈める云々の測定方法が誤差を生み出してしまう結果となります。

書き損じました。
以下の３行目の式の部分xをyに訂正します。

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水圧の影響は風船の中心の水深が α cmの場合
α/1000×0.987で近似的に求められますので
大気圧下での風船の内圧は　2/y-α/1000×0.987 atmとなります。
----------------------------------------------------------

すいませんでした。

Answer

β項は内圧に拮抗する外力の内訳を説明するために便宜上導入しただけで、これを計算だけで求めるのは相当難しいかと思います。
（私も風船のような弾性体は専門ではありませんのではっきりとは断定できませんが。）
風船のゴムがばねのように引っ張った時の伸び率と張力（収縮力）との間に相関関係があるというのは想像できますが、
?伸び率の測定が難しい
?伸び始めの基底状態を判断するのが難しい
?伸び率と張力との相関関係に関する知見に乏しい
等の理由でたとえ計算できても誤差が大きすぎる結果になると想像されます。

これはいわばギターやバイオリンの調弦をするときに音を鳴らさずに「何mm引っ張ったから音の高さはラになっているはずだ」というようなものです。

Kさんへのお礼のなかで「微差圧計を実測の際に参考にする」と書かれていますが微差圧計が使えるならばこれ以上精度の高い測定方法はありません。

精度の高い順で言うならば
?微差圧計
?体積測定による計算
?ゴムの張力計算
です。

エンジニアリングの世界でも間接的な測定よりも直接的な測定がまず第一に選ばれます。

私の提示しました方法もあくまで微差圧計が手元にない状況で身近な物を使って測定する次善策です。

私が自分でやるとしても微差圧計で測って終わりだと思います。

以上ご参考になれば幸いです。

Answer

P1V1＝P2V2
大気圧：1atm
１atm×10ml＝Ｘatm×2000ml
　　　　 Ｘ＝0.005atm
という計算で求めた圧力は、10mlの空気が入った風船を縛った状態で無理矢理伸ばして2000mlにしたときの圧力ですよね。
かなりの減圧状態です。

風船の中に空気を2L入れたときの『2L』はどうやって求めた値ですか？

P1=1atmで目盛り付き注射器を用いV1=2Lを計って風船に入れ、実際に風船の大きさ（直径）から体積V2を求めれば、
P1V1＝P2V2より
１atm×2L＝Ｘatm×V2
　　　　 Ｘ＝2 / V2 atm　(V2=1.5Lだとしたら　Ｘ＝1.33atm)
で求まりそうです。ダメですかね。
風船の大きさを測るのがうまくいかないでしょうかね。

Answer

たとえば 2リットル入れて、直径が 10cm になる風船と 15cm になる風船では内圧も変わってくると思うので、計算で出すのは難しいのではないでしょうか。
金属容器ならともかく、計算で出そうとすると風船の大きさや、膨らむときの抵抗などを考えないと内圧はわからないような気がします。
微差圧計で測定したのではだめなのでしょうか。

空気が入った風船の内圧の計算方法は？