トーションバーの荷重計算

Question

トージョンバーの荷重計算について教えてください。
 線材を３次元的に２箇所L型に曲げたトーションバーについて（形状が想像つくでしょうか？），３辺をそれぞれＡ，Ｂ，Ｃとし，そのうちのＡ，Ｃをウデ部，Ｂをねじり部とすると，ウデ部の１方（Ｃ部）を固定しもう１方のウデ部（Ａ部）の先端に荷重を加えた場合を考えます。
 Ａ部の先端（荷重を加えた点）に，固定したＣ部とのねじり角度が８０度になるように荷重を加えるとその力はいくらになるのでしょうか？
部材；φ４の線材
縦弾性係数；２０６０００ＭＰａ
横弾性係数；７８５００ＭＰａ
部材Ａの長さ１２０ｍｍ
部材Ｂの長さ３００ｍｍ

部材Ａのたわみが無いと考えると部材Ｂに加わるねじりモーメント（トルク）は計算できますので荷重も計算できますが，部材Ａのたわみを考えるとどのように計算するのか分かりません。

どなたか教えてください。よろしくお願いします。

Accepted Answer

Lレンチのような形状とのことなので，以下の図で考えます。

La
           --------- × ← 画面直角方向に力Pを掛ける
           |
       Lb  |
           |
           |
　　　　＝＝＝(固定)

・モーメント：M = P・La　・・・(1)
・バーのひずみエネルギー：U＝(M^2/6)・{La/(EI)＋3・Lb/(GIp)}　・・・(2)

但し，E：ヤング率，G：せん断弾性係数，I：線材の断面二次モーメント，Ip：線材の断面二次極モーメント。

カスチリアーノの定理より，荷重付加位置でのたわみ量δは，(2)より，

δ＝(P・La^2/3)×{La/(EI)＋3・Lb/(GIp)}　・・・(3)

上図の固定部材中心でのねじれ角をθとすれば，

δ＝La・θ ・・・(4)

∴θ＝(P・La/3)×{La/(EI)＋3・Lb/(GIp)}　・・・(5)

したがって，(5)式からPを計算できます。御自分でも確認してみて下さい。

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※カスチリアーノの定理は，材料力学の本などで御確認下さい。

※適切な回答を貰いたいのであれば，やはり簡単な図は必要かと・・・
(だからチャットのような回答になってしまう)

ちなみに，指定の数値を代入して計算すると，P≒69.5N になります。

私の回答をそのままトレースするとそういうことになりますね。
私が「材料力学の本などで御確認下さい。」と書いたのは，なぜそうなるのかを理解された方が良いということであって・・・。まあ，計算手法のみを知りたいと言う事であれば，別に構わないとは思いますが。それは個人個人の考えなので。

＞これは正確にはθ＝sinθですよね

これは，変形にねじりを伴うことから，たわみδが半径Laで角度θをなす円弧の長さにほぼ等しいという仮定をした結果です。なので，sinθとしても構いません。(貴方が”正確”と思う方法で考えれば良いと思います)

あと，上記はモデルを簡単にしていますが，長さLaの部材に荷重Pを掛けるので，長さLbの部材は，反力(＝P)を発生させるためにたわむはずです。本来はこれを考慮すべきだと思います。考え方は同様です。

Answer

梁において，たわみｗ>>長さＬと考えて傾斜角　β＝tan-1（ｗ／La)≒ｗ／La
(rad：中心角)と考えています。
私は部材Ａの先端のねじれ角を測定して，部材Ｂのねじれ角を推定するもの
だと理解していました。
部材Ｂのねじれ角を捕らえるのであれば複雑に考える必要は無いと思います。

Answer

部材Ｂのねじり角θbとし，部材Ａを片持ち梁で考えて添付ＵＲＬの
図における先端角：θ＝α　，梁の傾斜角：β＝ｗ/La　と考えます。

与えるθの回転角とはθb(軸のねじれ)ですか？　それとも部材Ａ先端の回転角
θa＝θb＋(α＋β)ですか？
提示の説明ではそのあたりがはっきりしません。
部材Ｂに加わるトルクと部材Ａ先端荷重によるトルクはつりあって
います。この関係から部材Ｂに発生するねじり角と部材Ａに発生する
たわみとの相関が生じます。

Answer

説明不足で何度も追加記載することになり申しわけありません。
先端荷重はおっやるとおり、Ａ部をたわませる力はＢ部をねじらせる力と
相殺し合うことになります。要はねじり角をどう考えるかの問題です。
部材Ａ先端の見かけ上のねじり角と，部材Ｂに発生するねじり角は異なって
います。部材Ｂの発生するねじり角θは部材Ａ先端の傾斜角θ’で考えると片持
ち梁のたわみによる角αと先端部の曲げ曲率による傾斜角βが加算されます。
すなわち　θ’＝θ＋（α＋β）　となります。
ここでθ’＝80°と考えるのかθ＝80°と考えるかの違いがあります。
提示の条件だと前者と思われますので，θ＝1.4－（α＋β）radと言う補正が
必要になります。

Answer

回答(6)の一部訂正し，補足します。
捩りトルク→捩り応力　　(4)
捩りトルク　Ｔ＝Ｇ・Ｉp・θ／Ｌb　　(5)

ねじり角の記述は部材Ａの先端のねじり変位角を考えることを前提にして
います。部材Ｂの中心基準ならこれを考慮する必要はありません。

Answer

再度補足します。

ねじり角 　θ＝８０°＝１.４rad　（1）
せん断角　　　γ＝d・θ/(２Ｌｂ)　（2）
捩り応力　　　τ＝Ｔ/Ｚp　　　　（3）
捩りトルク　　τ＝Ｇ・γ　　　　（4）

(2)～(4)式から　Ｔ/Ｚp＝Ｇ・d・θ/(２Ｌb)　が得られます。
Ｔ＝Ｇ・Ｉp・θ／Ｌb　が誘導できます。(4)の表現に誤りがありましたので
訂正します。
トルクはＴ＝Ｇ・Ｉp・θ/Ｌb＝78500*25.13*1.4／300＝9206Ｎ?
先端荷重は　Ｗ＝Ｔ／Ｌa＝9206／120＝76.7Ｎとなります。
なお部材Ａがたわむと先端部と中心を結ぶ線が傾きます。さらに先端部は
たわみ角により傾きが生じます。先端部に着目するとこれらの角はねじり角
に重なります。

トーションバーの荷重計算