長方形板の最大たわみ

Question

長方形板の４辺固定に等分布荷重がかかっているときの最大たわみを求めたのですが答えが無いので正解かどうかわかりません。
長方形の短辺a100=mm、長辺b=200mm、板厚t=10mmに等分布加重P=0.1[N/m?]の時の計算です。たわみ係数α=0.15(辺の比率からたわみ係数の表より求めました。)、縦弾性係数E=193060[N/m?]とします。このときの最大たわみδは

Pa^4          0.1*100^2
δ=α--------=0.15*------------=7.8*10^-7[mm]
　　　 Eh^3         193060*10^3

本来このような答え合わせの質問をするべきでは無いと思うのですが、どうにも困っています。宜しくお願いします。

みなさん回答ありがとうございます。お忙しいところもうしわけありませんでした。

Accepted Answer

回答（2）の方を含め、値が全然違うような気がしますが。。。

４辺固定の長方形板のたわみは、長短辺比が２以上の場合には、短辺を長さとする梁で近似でき、これが最大値を与えます。
（弾性係数Ｅは、幅方向が完全拘束されるため、Ｅ/(1-ν^2)で置き換える必要があります。この手の問題では、ν=0.3が前提になっているはずです。）

今の場合、等分布荷重を受ける両端固定梁の解
　δ1＝ｗL^4/(384EI)　　（wは、単位長さあたりの分布荷重）
が元になります。

ここに、
　Ｌ＝ａ＝100mm
　ｗ＝0.1N/mm^2×ｂ＝20N/mm
　Ｅ→193060/(1-0.3^2)＝212153MPa
　Ｉ＝ｂt^3/12＝200mm×(10mm)^3/12＝50000/3mm^4
を代入すると、
　δ1＝0.001473mm
となります。
δ1は、曲げによって発生する成分になります。

実際には、L/2の長さ分の剪断変形によるたわみも発生します。
等分布荷重を受ける梁の剪断変形によるたわみδ2は、
　δ2＝1.2ｗ(Ｌ/2)^2/(2ＡＧ)
　Ｇ＝Ｅ/{2(1+ν)}＝74254MPa
　Ａ＝ｔｂ＝10mm×200mm＝2000mm^2
より、
　δ2＝0.0002020mm

よって、この問題の全たわみδは
　δ＝δ1＋δ2＝0.001675mm
となります。

実際は、これよりも小さくなりますが、長短辺比が2を越える場合は、ほとんど正解を与えます。
検証のため、有限要素法で数値計算を行ってみたところ、
　δ＝0.001636mm
となりました。(誤差2.4%)
非常に良い近似値になっていることがわかります。

私のほうが、何か根本的に問題を取り違えているのかな？？

Answer

δ=0.15*0.1*100^4/193060/10^3=0.0078[mm] ・・・式は合ってるが答えが×
となるがチョット待った。便覧では、b/a=2でα=0.11強程度になってますが？
従って、δ=0.11*0.1*100^4/193060/10^3=0.006[mm] となると思います

爪だけに、ツメが甘いかも知れません。気をつけましょう

回答（3）さんにより再度見直しましたら、何と四辺支持の係数を入れていた
訂正すると、機械工学便覧の図から、b/a=2、α2≒0.03弱になってますので
δ=0.03*0.1*100^4/193060/10^3=0.0016[mm] になった。すみませんでした
これなら回答（3）さんの回答とも合致するようなので間違い無いと思います

Answer

爪を硬くすれば仕上げ面をクランプすれば傷がつくでしょうし、
やわらかければ黒皮の形状が転写されてしまいます。

結局は
・硬くても傷がつきにくいようにチャック圧を落として仕上げ加工を行う
・爪をバーナーなどで炙って傷がつかない程度の微妙な硬さにする。
・軸端のストッパーなどを取り替えて、荒と仕上げのクランプ位置を
　それぞれ変えてやる

くらいしか対策が思いつきません。
参考になればどうぞ

回答先を間違えました。

長方形板の最大たわみを求める方法