ネジの締め忘れ対策について

　１、まず、現状確認（管理者が作業を行ってみる）、特に、手順（ﾈｼﾞ締め順）が重要だと思います。作業者は、1日中、集中できないと思います。そのため、集中力が切れたときでも、体が覚えていれば、手順を、間違わずに
作業ができると思います。
　２、ポカよけの方法としては、員数管理ではないでしょうか、ﾈｼﾞ締め前に必要数のﾈｼﾞを数えておく。このようにすれば、忘れてとき、ﾈｼﾞが残っていますので、作業者自身が発見できます。事前にﾈｼﾞを数える方法は、色々あります。
　３、目視検査でも、1と同じように確認手順を明確にして、いつも同じ手順で検査を行うことで、安定するのでは、ないでしょうか

量産のなかで、人の能力に依存する工程がある場合、
ざっくり言うと、教育→見極め→ライン投入となると思いますが、

ライン投入後の不具合について、
ラインから外す→異常処理表・不具合対策書→再教育→見極め→ライン投入
基本的には上記の繰り返しです。

作業者が何人もいる場合は、作業者別に識別マークをつけさせて、
誰が作業したものか、すぐに分かるようにしています。
それにより、作業者も責任感を持って仕事をしてくれます。

不具合を繰り返す作業者は、そのラインから外すしかありません。
厳しく対応しないと、すでに回答がありますが、モラルが下がります。

なぜ「板挟み」なのか理解に苦しみます。
ご質問の内容から察するに、相当にモラルの低い職場のようです。
各自が自分の仕事に責任を持ってない気がします。ノウハウも何も無いと考えます。
各製品毎に作業者の責任を明確にしては？
製品 個体毎に責任を持つべき作業者を明確にする。
その上で、何か不備が在ればペナルティを課す。
不備の基準を明確にするためにも「作業標準」を明確に決める。
その上で、不備が在れば公表しペナルティを課す。
モラルの低い現場にはこれしか無いと思います。

別な観点から、、、
「１本位無くたって･･･」
本当に１本無くても機能するなら、設計的に１本無くしましょう。
本当に必要なだけの本数に出来ませんか？本当に必要な本数が締まってない時には誰の目にも明らかな違いが出る設計や工程に出来ませんか？
可能ならばネジ本数削減のコストダウン、不良率低下さらに現場の作業が少し楽になる。
「半田の品質ばかり気になって･･･」
ってことはハンダの工程が作業者に精神的な負担になってるんではないですか？
製品品目上仕方ないとはいえ、そちらの精神的負担「気になって…」を低減する事も考えられてはいかがでしょうか？

そしてこれらは作業者に「この人は作業者の意見を聞いてくれる」って思ってもらえる事で現場の意識も変わってくる可能性もあります。

2で回答したものです。
　『お金を払えない』という発言を軽はずみにすることは、余計に不具合を出すだけです。(その発言は結局上から物を言っていますよね。)
　どうでもいいねじ締めに検査工数を割く　うーん自分達の会社の存在意義をどう考えているのでしょうか？
　半田を生業にしているのではないですか？(あくまで推測ですが・・・)
　貴方の回答を聞く限り、上司も、貴方も。生産ﾗｲﾝを知らない、会社を知らないのかと思ってしまいます。
　　気を悪くしたらすみません。

　作業者はﾘｽﾞﾑで仕事をしていますので、ﾘｽﾞﾑが狂うと生産性は非常に悪化します。
お金をかけなくて、ﾎﾟｶよけってできませんか？(他のﾗｲﾝから転用するとか・・・、使っていない部品はありませんか？)
もっと、知恵をだしてください。

なぜ不具合が発生するかは作業者が全てを知ってます。
うまく表現ができないだけです。
作業者と良く相談してください。
不具合は現場で起きています。一日中現場で物を考えてください。
例えば
「１本位無くたって…。半田の品質ばかり気になって…。」
この発言からでも判ること　検査時間は適切ですか？　見る項目はきちんと指示していますか？
ちゃんと作業者の思いを引き出してあげてください。