はりの長さ毎に断面二次モーメントが変わるはりのたわみの求め方

回答(3)を書いた者です。

私の回答まで持ち出された議論をされているので，再度計算をしてみたところ，

δ＝{12W/(bE)}×{L/(h2-h1)}^3
　×{ln(h2/h1) - (3 - h1/h2)(1 - h1/h2)/2}

となりました。私の計算ミスだったようです。

したがって，h200400さんと私で同じ結果になったので，ほぼ間違いないかと。

お礼

2008/08/11 09:22

ご返事が遅くなってしまい、申し訳ありません。
やっと回答が出ました。
ありがとうございました！

質問者

夏休みのトレーニングとして、解いてみました。
先端のたわみδは次のようになりました。

δ＝{12W/(bE)}×{L/(h2-h1)}^3
　×{ln(h2/h1) - (3 - h1/h2)(1 - h1/h2)/2}

h1=h2 のときに分母が0となる点については、この式中のln(h2/h1)に対して、

h2/h1＝ 1 + d/h1,　d ＝ h2 - h1

と置き、lnをマクローリン展開すると、うまい具合に　1/(h2-h1)^3　を帳消しにしてくれる項が現れて、解決します。
その結果は、よく知られた断面一様の解が得られます。

私も完全に解いてないのですが･･･。

回答（3）さんの式では、{L/(h2-h1)}^3の項がh1=h2時(一様断面）に分母0となる為どこか計算違いがあるのかな？と思います。

?式と?式はあっています。

私も興味があったので，違うアプローチで計算してみました。片持ちはりなので，最大たわみは荷重付加位置ですよね？　
これを踏まえて。?式と?式はそのまま使います。

図のはりのたわみエネルギーUを計算すると，

　U = ∫{(Wx)^2/(2E・Ix)}dx (0～Lまでの定積分)
　 = {6・W^2/(bE)}×{L/(h2-h1)}^3×{Ln(h2/h1)+(h1/h2)・(2-h1/h2)-3/2}　・・・(1)

カスティリアーノの定理から，求めるたわみδは，(1)より，

　δ= ∂U/∂W
　　= {12W/(bE)}×{L/(h2-h1)}^3×{Ln(h2/h1)+(h1/h2)・(2-h1/h2)-3/2}・・・(2)

となりました。つまり，(2)式が貴殿の求めるたわみになります。
計算が少々複雑ですので，是非貴殿でも検算してみて下さい。

やり方は正しいと思います。
私も計算してみましたが、先端(ｘ=0）でlog0とはなりませんでした。

参考に私は
z=h1+(h1-h2)x/L
と置換し、二回積分後log zが出てきましたがx=0でｚ=h1なのでlogh1となりました。

補足

2008/07/24 13:39

私の積分が間違っていたことがわかりました。（h1≒h2としたとき、普通のはりの式の答えと違うことからまだ間違っているみたいですが…）

私が計算しなおしたものですと、z=h1+(h2-h1)x/Lとして、Log(h1/h2)となりました。
また再考してみます。

質問者