四角柱のねじり角度について

断面が円（または中空円）以外の形状のねじりは、通常の材料力学の教科書には詳しく書いてありません。それどころか、ねじり角θとねじりトルクＴの関係式を、
θ＝ＴＬ/ＧＩp
と記述しただけで済ませている教科書もあるほどです。
Ｉpという量は、断面二次極モーメントで、その定義は
Ｉp＝Ｉxx＋Ｉyy
であり、この式が成り立つのは円形断面だけなのです。このために、学習者はとんでもない誤解をすることになります。

断面が円以外のねじりの挙動に関しては、真実を知らない人は非常に多いと思います。

多分投稿者86さんは、このことをご存知で質問されたのだと思います。
ねじりの問題に関する過去のこのサイトの回答も、真実でないものが多ようですね？

では、真実は何かといえば、これは弾性論の教科書を見る必要があります。
まず、
θ＝ＴＬ/ＧＪ
と記述します。
ここでのＪは、ねじり断面二次モーメント、などと呼んで、Ｉpと区別します。
一般に、
Ｊ<<Ｉp
ですので、非常にマズイのです。

さて、長方形断面のＪは、弾性論によると、短辺をa、長辺をbをし、
ｐ＝b/a
とおいた場合、
Ｊ＝a^3･b/3･f(p)
f(p)＝１－192/(π^5･p)･Σ{(1/n^5)･tanh(nπp/2)}
　ただし、Σは、n＝1,3,5…　に関する和
となります。

このf(p)ですが、
長方形の長短辺比が非常に大きいとき（p→∞）と、正方形断面のとき（p＝１）のときが両極端の状態になり、
　f(∞)＝１（要するに、有名な、Ｊ＝a^3･b/3　という式になる！）、
　f(1)＝0.4217…
になります。

角パイプの式は、上記の式から、外形のＪと、内形のＪの差として誘導されたものです。

ねじり剪断応力の最大値τmaxは、ご存知だと思いますが、軸中心から近いほうの辺の中央、要するに、長辺の中央に生じその値は、次のようになります。
τmax＝Gθａ･g(p)
g(p)＝１－(8/π^2)Σ{1/(n^2･cosh(nπp/2))

Ｉ、Ｈ、ＣＴ形の各開断面部材のＪは、上述のような厳密なことを言っていると設計計算が進まないため、断面を長方形に分解し、それぞれに
Ｊ＝a^3･b/3
を適用して、これを加え合わせる、という方法を採用しています。
こうなってくると、最大応力がどこに現れるか、などという議論はどこかにフッ飛んでしまいます。一概に言えなくなってしまいますから。

上述の方法をパイプに適用してはいけません。
パイプのような中空閉断面と、Ｉ、Ｈ、ＣＴ形の各開断面部材では、ねじり変形挙動が極端に違うからです。（中空閉断面の方が、剛性が高くなります。）

なお、ねじりの挙動はCAE解析したらわかるという意見も聞かれるかと思いますが、実際にはねじりの解析は、厳密にやろうと思うと、荷重のかけ方がメチャメチャに難しく、並みのCAE解析技術者の手には負えないシロモノです。

以上、式の書き間違いなどがあったら、ごめんなさい。

> お忙しい中、詳細なご回答頂きありがとうございます。

　いえいえ。

> 私は材料力学等に関して、独学なため、

　感服いたします！

> 常識的な質問で無かった場合にはお許し下さい。
> (もちろん、弾性論に関しても良く分かりません。）

　いえいえ、この問題は、非常に難しいのです。
　ここでの回答者でも、よく理解されていない方も、いらっしゃるぐらいですから。

> 教えて頂いた内容を元に以下のように計算してみました。

> 短辺（a）：12mm
> 長辺（b）：75mm
> L=527mm
> T(トルク）：185Nm

> T=185Nm=18900kgfmm
> L=527mm
> G(横弾性係数：kg/mm2)=8100

> J=12^3*75/3*f(p)=43200*f(p)=43200*1=43200

f(0.625)＝0.8992
Ｊ＝43200*0.8992＝38850

> θ＝ＴＬ/ＧＪ=(189000*527)/(8100/43200)=0.028rad=1.6度

θ＝ＴＬ/ＧＪ=(18900*527)/(8100*38850)=0.0317rad=1.81度

> この計算結果としては、片端固定して527mm先端にトルクをかけた状態のねじり角度になりますか？

そうです。

> 実際には、両端固定のセンター部分にトルクをかけた場合には、以下のようにトルクも、長さも半分で良いのですか？

> θ＝ＴＬ/ＧＪ=(189000/2*527/2)/(8100/43200)=0.0125rad=0.716度

そうです。
ただし、計算間違いがありますね？(^^
θ＝ＴＬ/ＧＪ=(18900/2*527/2)/(8100*38850)=0.00791rad=0.453度

> ご丁寧な回答を頂いたのですが、現時点では全てを理解することが出来ないため、多少、勝手に解釈してしまった点等が（f(p)=１）ありますが、お許し下さい。

設計計算なら、10%ぐらいの誤差は無視して構いませんから、p=6.25に対するfは、
f(6.25)=1
で近似しても構わないと思います。

> 以上の様な計算で良いのでしょうか？

ＯＫです。
なお、pに対するf(p),g(p)の値を記載しておきます。

p=b/a f(p) g(p)
1.0 2.249 1.351
1.1 2.464 1.439
1.2 2.658 1.518
1.3 2.833 1.585
1.4 2.990 1.644
1.5 3.132 1.695
1.6 3.260 1.739
1.8 3.479 1.809
2.0 3.659 1.860
2.5 3.990 1.936
3.0 4.213 1.971
3.5 4.374 1.987
4.0 4.493 1.994
5.0 4.661 1.999
6.0 4.773 2.000
6.25 4.796 2.000
7.0 4.853 2.000
8.0 4.913 2.000
9.0 4.960 2.000
10.0 4.997 2.000
20.0 5.165 2.000
100 5.300 2.000
500 5.327 2.000

回答（4）の方が引用された
http://www.takitard.com/torsion/torsion.pdf
は、正方形断面のＪとしてＩpを使用している”良くない例”です。
正方形断面の場合、Ｊ＝Ｉpで代用すると、Ｊは真値よりも18.6%大きい値となります。「このくらいの誤差は気にしない」という方は、この近似を使用されるのも良いと思います。
ただし、２ページ目の上部に、「前ページの式が正確な計算ですが」と記載してあるのは、正方形断面の場合には、決して正確な計算ではなく、誤差18.6%を持つ近似式ですから、訂正すべきだと考えます。

以上の例でもわかるように、ねじりの問題というのは、断面が円形（含：楕円、中空円形、中空楕円形）以外の場合は、かなりの専門家の方でも、性格に把握できていない、難しい問題である、ということなのです。

よく見抜かれましたね！
自分でもアッと驚いた！
コピペの間違いです。
τmaxの表示式も違っていました。
ごめんなさい。
正しい式と計算値は、下記の通りです。

Ｊ＝(a^3･b/3)･f(p)
τmax＝(Gθａ/Ｌ)･g(p)＝(Ｔa/Ｊ)･g(p)

p=b/a f(p) g(p)
1 0.421731 0.675314
1.1 0.461951 0.719777
1.2 0.498357 0.758764
1.3 0.531178 0.792722
1.4 0.560712 0.822151
1.5 0.587282 0.847562
1.6 0.611207 0.869444
1.8 0.652293 0.904383
2 0.686045 0.930060
2.5 0.748095 0.968070
3 0.789951 0.985438
3.5 0.819935 0.993360
4 0.842439 0.996973
5 0.873950 0.999371
6 0.894959 0.999869
6.25 0.899160 0.999912
7 0.909964 0.999973
8 0.921219 0.999994
9 0.929972 0.999999
10 0.936975 1.000000
20 0.968488 1.000000
100 0.993698 1.000000
500 0.998740 1.000000

計算値の数値の桁数が多すぎますが、まあ、気にしないで下さい。

一昨日書いたものは、ここで記載した値に対して、
ｆが16/3倍、
ｇが2倍
になっているものでした。

上記の数値の計算は、私はExcelを使い、pを設定しては、級数の各項を計算し、それを適当な項まで足し合わせるという、原始的な方法を使っています。

ダメ押しの確認ですが、ＪをＩpで代用するようなやり方をしてはいけません。
Ｊは、Ｉpに対して必ず小さくなります。
正方形断面だと、Ｊは0.843倍で、あまり問題はないのですが、
長方形断面だと、
長辺/短辺＝3 の場合、Ｊは0.316倍
長辺/短辺＝6.25の場合、Ｊは0.0898倍
になってしまいます。
すなわち、設計計算上、非常に危険側の値を計算することになってしまうのです。
このことを知らない人が実に多いのです。それは、知らない人が勉強不足なのではなくて、教科書を書いている人たちさえもよくわかっていないために、ほとんどの教科書には載っていないからなのです。
JISの鉄鋼を見ると、Ｃ、Ｈ、Ｉ、Ｌ、Ｔなどの各断面について、断面積や断面２次モーメントは具体的な数字が載っています。Ｊについても、記載すべきなのに、これがありません。
機械工学便覧でも、ねじりに関する限り、実に曖昧な書き方をしています。
これらのことからも、いかにねじりの問題が正しく認識されていないかがわかると思います。

しかし、それでも世の中、これが原因でトラブル続発に至らないのは、
・主にねじりを受ける部材の断面は、常識的には円形や正方形（パイプを含む）であって、この場合はＪ＝Ｉp、または、これに近いこと、
・他の断面形状の場合には、通常、曲げなどが支配的であって、ねじりは付随的に発生する現象のために、ねじりの値が誤差だらけであったとしても、事実上問題にはならないこと、
などの事情があるからなのです。

お礼

2008/04/24 14:55

お忙しい中、詳細なご回答頂きありがとうございます。
私は材料力学等に関して、独学なため、常識的な質問で無かった場合にはお許し下さい。(もちろん、弾性論に関しても良く分かりません。）

教えて頂いた内容を元に以下のように計算してみました。

短辺（a）：12mm
長辺（b）：75mm
L=527mm
T(トルク）：185Nm

T=185Nm=18900kgfmm
L=527mm
G(横弾性係数：kg/mm2)=8100

J=12^3*75/3*f(p)=43200*f(p)=43200*1=43200
θ＝ＴＬ/ＧＪ=(189000*527)/(8100/43200)=0.028rad=1.6度

この計算結果としては、片端固定して527mm先端にトルクをかけた状態のねじり角度になりますか？
実際には、両端固定のセンター部分にトルクをかけた場合には、以下のようにトルクも、長さも半分で良いのですか？

θ＝ＴＬ/ＧＪ=(189000/2*527/2)/(8100/43200)=0.0125rad=0.716度

ご丁寧な回答を頂いたのですが、現時点では全てを理解することが出来ないため、多少、勝手に解釈してしまった点等が（f(p)=１）ありますが、お許し下さい。

以上の様な計算で良いのでしょうか？

御忙しい中、親切丁寧な回答をして頂き、本当にありがとうございました。
お礼が遅れて申し訳ありませんでした。昨日から自分なりにｆ（ｐ）の式も含めていろいろと調べてみましたが、難しいですね。
正直、以下の２つ式に関しては、分かりませんでした。
f(p)＝１－192/(π^5･p)･Σ{(1/n^5)･tanh(nπp/2)}
g(p)＝１－(8/π^2)Σ{1/(n^2･cosh(nπp/2))

しかし、おかげさまである程度は理解する事ができました。
そのため、今の設計に生かすことができました。

最後に、もしお時間があるようなら、教えていただけないでしょうか。
f(p)とg(p)の件ですが、
今回質問させて頂いた条件では、
短辺（a）：12mm
長辺（b）：75mmです。

p=b/a=75/12=6.25
f(p)=f(6.25)=0.8992？

以下が、添付して頂いた数値になりますが、
f(p)とg(p)の値を見ると大きく違う気がします。

f(6.25)=4.796？

p=b/a f(p) g(p)
1.0 2.249 1.351
1.1 2.464 1.439
1.2 2.658 1.518
1.3 2.833 1.585
1.4 2.990 1.644
1.5 3.132 1.695
1.6 3.260 1.739
1.8 3.479 1.809
2.0 3.659 1.860
2.5 3.990 1.936
3.0 4.213 1.971
3.5 4.374 1.987
4.0 4.493 1.994
5.0 4.661 1.999
6.0 4.773 2.000
6.25 4.796 2.000
7.0 4.853 2.000
8.0 4.913 2.000
9.0 4.960 2.000
10.0 4.997 2.000
20.0 5.165 2.000
100 5.300 2.000
500 5.327 2.000

この表の数値と計算結果が、合わないように思います。
また、正方形断面：p=1・・・f(1)=0.4217
長短辺比が非常に大きい場合ｐ→∞・・・f(∞)=1
と書かれていたため、f(p)の値は、0.4217～1の範囲内なのかと思いっていました。（本来なら計算ができれ良いのですが、・・・）

お時間の無い中、眞に申し訳ありませんが、お時間が取れるようであればで構いませんので、ご回答願います。

h200420様
お休みのところ、親切丁寧な回答をして頂き、本当にありがとうございました。おかげさまで、納得することが出来ました。

正直私は、Ｊ：ねじり断面二次モーメントという存在すら知りませんでした。
そのため、一番初めの質問にも記載したとおり、機械便覧に載っていた円柱のねじれ計算に使用している断面二次極モーメントＩpを単純に四角柱に応用すれば良いと単純に考えてのｲﾝﾀｰﾈｯﾄにて検索して調べましたが、見つかりませんでした。そのため、技術の森の質問させて頂いたしだいです。

今回は、数回にわたり私の質問に回答していただき、本当にありがとうございました。とても勉強になりました。

質問者